Fungsi transendental

Dalam matematika, Fungsi transendental adalah fungsi analitik yang tidak memenuhi persamaan polinomial, berbeda dengan fungsi aljabar.^[1]^[2] Dengan kata lain, fungsi transendental "melampaui" aljabar yang tidak dapat diekspresikan dalam istilah urutan terbatas dari operasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, peningkatan pangkat, dan ekstraksi dari ekspresi radikal.^[3]

Contoh fungsi transendental termasuk fungsi eksponensial, logaritma, dan fungsi trigonometri.

Definisi

Secara formal, fungsi analitik ƒ(z) dari satu variabel nyata atau kompleks z adalah transendental jika independen secara aljabar dari variabel itu.^[4] Ini dapat diperluas ke fungsi beberapa variabel.

Sejarah

Fungsi transendental sinus dan kosinus adalah ditabulasi dari pengukuran fisik di zaman kuno, sebagaimana dibuktikan di Yunani (Hipparchus) dan India (jya dan koti-jya). Dalam mendeskripsikan tabel akord Ptolemy, yang setara dengan tabel sinus, Olaf Pedersen menulis:

Gagasan matematis tentang kontinuitas sebagai konsep eksplisit tidak diketahui oleh Ptolemeus. Bahwa dia sebenarnya, memperlakukan fungsi-fungsi ini secara terus menerus muncul dari anggapannya yang tak terucapkan bahwa hal itu mungkin untuk menentukan nilai variabel dependen yang sesuai dengan nilai variabel independen dengan proses sederhana interpolasi linear.^[5]

Pemahaman revolusioner tentang fungsi melingkar ini terjadi pada abad ke-17 dan dijelaskan oleh Leonhard Euler pada tahun 1748 dalam Pengantar Analisis Tak Hingga. Fungsi transendental kuno ini dikenal sebagai fungsi kontinu melalui kuadratur dari hiperbola persegi panjang xy = 1 oleh Grégoire de Saint-Vincent pada tahun 1647, dua milenium setelah Archimedes memproduksi Quadrature dari Parabola.

Area di bawah hiperbola terbukti memiliki properti penskalaan area konstan untuk rasio batas konstan. Fungsi logaritma hiperbolik yang dijelaskan adalah layanan terbatas sampai 1748 ketika Leonhard Euler mengaitkannya dengan fungsi di mana konstanta dinaikkan menjadi eksponen variabel, seperti fungsi eksponensial di mana konstanta basis adalah e. Dengan memperkenalkan fungsi transendental ini dan mencatat properti bijection yang menyiratkan sebuah fungsi invers, beberapa fasilitas disediakan untuk manipulasi aljabar dari logaritma natural meskipun itu bukan fungsi aljabar.

Fungsi eksponensial ditulis $\exp(x)=e^{x}.$ Euler mengidentifikasinya dengan deret tak himgga $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}/k!,$ dimana k! menunjukkan faktorial dari k.

Suku genap dan ganjil dari deret ini memberikan jumlah yang menunjukkan cosh x dan sinh x, sehingga $e^{x}=\cosh x+\sinh x.$ Fungsi hiperbolik s transendental ini dapat diubah menjadi fungsi melingkar sinus dan kosinus dengan memasukkan (−1) ^k ke dalam deret, menghasilkan deret bolak-balik. Setelah Euler, ahli matematika melihat sinus dan kosinus dengan cara ini untuk menghubungkan transendensi dengan fungsi logaritma dan eksponen, sering kali melalui rumus Euler dalam aritmetika bilangan kompleks.

Contoh

Fungsi berikut bersifat transendental:

f_{1}(x)=x^{\pi }\

f_{2}(x)=c^{x}

f_{3}(x)=x^{x}

f_{4}(x)=x^{\frac {1}{x}}={\sqrt[{x}]{x}}\

f_{5}(x)=\log _{c}x

f_{6}(x)=\sin {x}

Secara khusus, untuk ƒ₂ jika kita menetapkan c sama dengan e, basis dari logaritma natural, maka kita mendapatkannya e^x adalah fungsi transendental. Demikian pula, jika kita menyetel c sama dengan e di ƒ₅, lalu kita dapatkan itu $f_{5}(x)=\log _{e}x=\ln x$ (yaitu, logaritma natural) adalah fungsi transendental.

Fungsi aljabar dan transendental

Fungsi transendental yang paling dikenal adalah logaritma, eksponensial (dengan basis non-sepele), trigonometri, dan fungsi hiperbolik, dan invers dari semua ini. Yang kurang familiar adalah fungsi khusus dari analisis, seperti gamma, eliptik, dan fungsi zeta s, semuanya transendental. hipergeometrik umum dan fungsi Bessel bersifat transendental secara umum, tetapi aljabar untuk beberapa nilai parameter khusus.

Sebuah fungsi yang tidak transendental adalah aljabar. Contoh sederhana dari fungsi aljabar adalah fungsi fungsi rasional dan akar kuadrat, tetapi secara umum, fungsi aljabar tidak dapat didefinisikan sebagai rumus hingga fungsi dasar.^[6]

Integral tak tentu dari banyak fungsi aljabar bersifat transendental. Misalnya, fungsi logaritma muncul dari invers perkalian.

Aljabar diferensial memeriksa seberapa sering integrasi membuat fungsi yang secara aljabar tidak bergantung pada beberapa kelas, seperti ketika seseorang menggunakan polinomial dengan fungsi trigonometri sebagai variabel.

Fungsi transendental transendental

Fungsi transendental yang paling dikenal, termasuk fungsi khusus fisika matematika, adalah solusi dari persamaan diferensial aljabar. Mereka yang tidak, seperti fungsi gamma dan zeta, disebut fungsi transendental transendental atau hipertransendental .^[7]

Lihat pula

Referensi

^ E. J. Townsend, Functions of a Complex Variable, 1915, p. 300
^ Michiel Hazewinkel, Encyclopedia of Mathematics, 1993, 9:236
^ 'Transcendental function' Encyclopedia Britannica Diarsipkan 2023-07-26 di Wayback Machine.
^ M. Waldschmidt, Diophantine approximation on linear algebraic groups Diarsipkan 2023-07-26 di Wayback Machine., Springer (2000).
^ Olaf Pedersen (1974) Survey of the Almagest, page 84, Odense University Press ISBN 87-7492-087-1
^ cf. Teorema Abel–Ruffini
^ Rubel, Lee A. (November 1989). "A Survey of Transcendentally Transcendental Functions". The American Mathematical Monthly. 96 (9): 777–788. doi:10.1080/00029890.1989.11972282. JSTOR 2324840.