Courbe cycloïdale

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Une courbe cycloïdale est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur une courbe dite directrice. Il s'agit donc d'un cas particulier de roulette.

Les différents cas particuliers de courbes cycloïdales sont liés à la forme de la directrice. Ainsi, on utilise les termes suivants :

1. lorsque la directrice est un cercle, on parle de cycloïde à centre :
   • lorsque le cercle roulant est à l'extérieur du cercle directeur, c'est une épicycloïde (dont la cardioïde et la néphroïde sont des cas particuliers) ;
   • lorsque le cercle roulant est à l'intérieur du cercle directeur, c'est une hypocycloïde (dont la droite de La Hire, la deltoïde et l'astroïde sont des cas particuliers) ;
2. lorsque la directrice est une droite, on parle de cycloïde droite ou tout simplement de cycloïde.

Une courbe cycloïdale peut être définie par deux équations intrinsèques:

• ${\displaystyle \left[1\right]\quad R_{c}^{2}+\omega ^{2}s^{2}=\omega ^{2}A^{2}}$
• ${\displaystyle \left[2\right]\quad s=A\sin(\omega \phi )\,}$

où ${\displaystyle R_{c}\,}$ représente le rayon de courbure et ${\displaystyle s\,}$ l'abscisse curviligne On retrouve alors les cas particuliers évoqués ci-dessus :

• • ${\displaystyle \omega =1\,}$ : cycloïde (A = 4 fois le rayon du cercle roulant)
  • ${\displaystyle 0<\omega <1\,}$ : épicycloïde (${\displaystyle \omega ={\frac {a}{a+2b}},A={\frac {4b(a+b)}{a}}\,}$ où a est le rayon du cercle de base, b celui du cercle roulant)
  • ${\displaystyle \omega >1\,}$ : hypocycloïde (${\displaystyle \omega ={\frac {a}{a-2b}},A={\frac {4b(a-b)}{a}}\,}$ où a est le rayon du cercle de base, b celui du cercle roulant).

• Trochoïde : lorsque le point mobile n'est pas fixé sur le cercle roulant mais à l'extérieur ou à l'intérieur de celui-ci
• Cycloïde, § « Étymologie et histoire »

« Courbe cycloïdale », sur mathcurve.com

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