Demi-plan de Poincaré

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Le demi-plan de Poincaré est un sous-ensemble des nombres complexes. Il a permis au mathématicien français Henri Poincaré d'éclairer les travaux du Russe Nikolaï Lobatchevski.

Le demi-plan de Poincaré est formé par les nombres complexes de partie imaginaire strictement positive. Il fournit un exemple de géométrie non euclidienne, plus précisément de géométrie hyperbolique.

On considère le demi-plan supérieur :

${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{2}=\left\{z=x+iy~|~y>0\right\}.}$

On munit le demi-plan supérieur de la métrique :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}={\frac {a^{2}\,\left(\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}\right)}{y^{2}}}.}$

Cette métrique possède une courbure scalaire constante négative :

${\displaystyle R=-{\frac {1}{a^{2}}}.}$

On se ramène usuellement au cas d'une courbure unité, c’est-à-dire qu'on choisit : a = 1 pour simplifier les équations.

Les géodésiques^[1] sont les demi-droites (au sens euclidien) verticales : x = cte (en rouge) et les demi-cercles (au sens euclidien) perpendiculaires à l'axe des abscisses : y = 0 (en bleu) :

Le groupe de matrices GL₂⁺(R) agit sur cet espace, par homographies^[2]. Plus précisément, soit g un élément de GL₂⁺(R) :

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},\qquad \mathrm {det} (g)=ad-bc>0.}$

Son action sur un point z du demi-plan est donnée par la transformation de Möbius :

${\displaystyle g(z)={\frac {az+b}{cz+d}}.}$

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Le flot géodésique sur une variété riemannienne à courbure négative est le prototype de système dynamique à temps continu le plus chaotique qui soit. Pour plus de détails, voir la section « Dynamique chaotique » de l'article « Géométrie hyperbolique ».

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