Kähkönen est formé au Espoon Jääklubi, il joue cependant ses saisons juniors avec les sélections jeunesses du Idrottsföreningen Kamraterna Grankulla puis des Espoo Blues. Durant la saison 2013-2014, il fait partie de l'effectif des Espoo Blues, mais ne dispute aucun match, passant la saison principalement avec la sélection junior. La saison suivante, il est prêté au TuTo Turku en Mestis, où il fait ses débuts professionnels. La saison suivante, malgré un match avec le TuTo, il joue la majorité de la saison avec les Espoo Blues où il fait ses débuts en Liiga le contre le Tappara Tampere. Il n'y reste cependant qu'un an puisqu'il rejoint le Lukko Rauma pour la saison 2016-2017[1].
Le , Kähkönen signe un contrat d'entrée de deux ans avec le Wild du Minnesota, équipe qui l'avait repêchée en 2014[2]. Il joue dans la LAH pour le Wild de l'Iowa jusqu'à sa deuxième année de contrat alors qu'il est rappelé par Minnesota le [3]. Il joue son premier match dans la LNH le et remporte ce match 3-2 contre les Devils du New Jersey[4].
Le , il est échangé aux Sharks de San José contre le défenseur Jacob Middleton et un choix de 5e tour[5]. Au terme de la saison, il devient agent libre mais demeure à San José en paraphant une entente de deux ans et 5,5 millions $ le [6].
Le , il est envoyé aux Devils du New Jersey en échange d'un autre gardien, Vítek Vaněček, et d'un choix de 7e tour au repêchage de 2025[7].
