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La métrique de Kottler (en anglais : Kottler metric)^[1],[2] est une solution exacte de l'équation du champ d'Albert Einstein, avec constante cosmologique (Λ).

La métrique est ainsi désignée en l'honneur de Friedrich Kottler (1886-1965) qui l'a découverte dès 1918^[3],[4]. Ayant été ultérieurement et indépendamment (re)découverte d'abord par Hermann Weyl (1885-1955) en 1919^[3],[5] puis par Erich Trefftz (1888-1937) en 1922^[3],[6], elle est aussi connue comme la métrique de Weyl-Trefftz^[7] ou la métrique de Kottler-Weyl-Trefftz (KWT).

La métrique est encore connue comme la métrique de Schwarzschild-de Sitter (SdS) pour une constante cosmologique est positive (Λ > 0)^[1] ; comme la métrique de Schwarzschild-anti de Sitter (SAdS) pour une constante cosmologique négative (Λ < 0)^[1].

La métrique s'écrit^[8] :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\left(1-{\frac {R_{\mathrm {S} }}{r}}-{\frac {\Lambda r^{2}}{3}}\right)c^{2}\mathrm {d} t^{2}+\left(1-{\frac {R_{\mathrm {S} }}{r}}-{\frac {\Lambda r^{2}}{3}}\right)^{-1}\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\left(\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \varphi ^{2}\right),}$

où :

• RS = 2GM/c² est le rayon de Schwarzschild, avec G la constante de Newton, M la masse et c la vitesse de la lumière dans le vide ;
• Λ est la constante cosmologique.

• [Kottler 1918] (de) F. Kottler, « Über die physikalischen Grundlagen der Einsteinschen Gravitationstheorie » [« Sur les fondements physiques de la théorie de la gravitation d'Einstein »], Annalen der Physik, vol. 361 (4^e sér., vol. 56), n^o 14,‎ 1918, p. 401-462 (DOI 10.1002/andp.19183611402, Bibcode 1918AnP...361..401K).
• [Weyl 1919] (de) H. Weyl, « Eine neue Erweiterung der Relativitätstheorie » [« Un nouvel élargissement de la théorie de la relativité »], Annalen der Physik, vol. 364 (4^e sér., vol. 59), n^o 10,‎ fév. 1919, p. 101-133 (DOI 10.1002/andp.19193641002, Bibcode 1919AnP...364..101W).
• [Trefftz 1922] (de) E. Trefftz, « Das statische Gravitationsfeld zweier Massenpunkte in der Einsteinschen Theorie » [« Le champ gravitationnel statique de deux masses ponctuelles dans la théorie de Einstein »], Mathematische Annalen, vol. 86, n^os 3-4,‎ sept. 1922, p. 317-326 (DOI 10.1007/BF01457992).

• [Deza et Deza 2016] (en) M. M. Deza et E. Deza, Encyclopedia of distances [« Encyclopédie des distances »], Berlin et Heidelberg, Springer, hors coll., août 2016, 4^e éd. (1^re éd. août 2009), 1 vol., XXII-756, 24 cm (ISBN 978-3-662-52843-3 et 978-3-662-57086-9, EAN 9783662528433, OCLC 980862890, DOI 10.1007/978-3-662-52844-0, SUDOC 199759464, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 26 (« Distances in cosmology and theory of relativity ») [« Distances en cosmologie et en théorie de la relativité »], § 26.2 (« Distances in theory of relativity ») [« Distances en théorie de la relativité »], p. 594, s.v.Kottler metric [« Métrique de Kottler »].
• [Dillen et Verstraelen 1999] (en) F. J. E. Dillen et L. C. A. Verstraelen (éd.), Handbook of differential geometry [« Manuel de géométrie différentielle »], t. I^er, Amsterdam et New York, N. H. (Elsevier), coll. « Handbooks », déc. 1999, 1^re éd., 1 vol., XI-1054, ill., 25 cm (ISBN 0-444-82240-2, EAN 9780444822406, OCLC 491393475, BNF 37755875, SUDOC 059263830, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Goenner 2001] (en) H. Goenner, « Weyl's contributions to cosmology », dans E. Scholz (éd.), Hermann Weyl's Raum – Zeit – Materie and a general introduction to his scientific work [« L'Espace, temps, matière d'Hermann Weyl et introduction générale à son travail scientifique »] (actes du séminaire en histoire des mathématiques tenu du 24 au 31 mai 1992 à Schloss Reisensburg), Bâle et Boston, Birkhäuser, coll. « DMV Seminar » (n^o 30), 2001, 1^re éd., 1 vol., VI-403, ill., 25 cm (ISBN 0-8176-6476-9 et 3-7643-6476-9, EAN 9783764364762, OCLC 468570478, BNF 37734268, DOI 10.1007/978-3-0348-8278-1, SUDOC 058891498, lire en ligne), 1^re part. (« Historical aspects of Weyl's Raum – Zeit – Materie ») [« Aspects historiques du de Weyl »], chap. 3 [« Contributions de Weyl à la cosmologie »], p. 105-137.
• [Griffiths et Podolský 2009] (en) J. B. Griffiths et J. Podolský, Exact space-times in Einstein's general relativity [« Espaces-temps exacts en relativité générale d'Einstein »], Cambridge et New York, CUP, coll. « Mon. Math. Phys. », oct. 2009, 1^re éd., 1 vol., XVII-525, ill., 26 cm (ISBN 978-0-521-88927-8, EAN 9780521889278, OCLC 758733128, DOI 10.1017/CBO9780511635397, Bibcode 2009este.book.....G, SUDOC 147482941, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Perlick 2004] (en) V. Perlick, « Gravitational lensing from a spacetime perspective », Living Reviews in Relativity, vol. 7, n^o 9,‎ sept. 2004, p. 117 p., chap. 5 (« Examples ») [« Exemples »], § 5.2 (« Kottler spacetime ») [« Espace-temps de Kottler »], p. 66 (DOI 10.12942/lrr-2004-9, lire en ligne).

• Métrique de Schwarzschild
• Univers de de Sitter
• Univers anti de Sitter

• [Müller et Grave 2010] (en) Th. Müller et F. Grave, « Catalogue of spacetimes » [« Catalogue d'espaces-temps »], v3, sur arXiv, 4 nov. 2010 (Bibcode 2009arXiv0904.4184M, arXiv 0904.4184).

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