Soit ${\displaystyle (e_{\alpha })}$ une base locale et ${\displaystyle g_{\alpha \beta }=g(e_{\alpha },e_{\beta })}$ le tenseur métrique exprimé dans cette base. Par définition de la dérivée covariante, on a pour tout ${\displaystyle \alpha }$,${\displaystyle \beta }$ et ${\displaystyle \gamma }$ :

${\displaystyle \partial _{\gamma }g_{\alpha \beta }=\partial _{\gamma }g(e_{\alpha },e_{\beta })=g(\nabla _{e_{\gamma }}e_{\alpha },e_{\beta })+g(e_{\alpha },\nabla _{e_{\gamma }}e_{\beta })}$

donc, par définition des symboles de Christoffel :

${\displaystyle \partial _{\gamma }g_{\alpha \beta }=g(\Gamma _{\gamma \alpha }^{\lambda }e_{\lambda },e_{\beta })+g(e_{\alpha },\Gamma _{\gamma \beta }^{\lambda }e_{\lambda })=\Gamma _{\gamma \alpha }^{\lambda }g(e_{\lambda },e_{\beta })+\Gamma _{\gamma \beta }^{\lambda }g(e_{\alpha },e_{\lambda })=\Gamma _{\gamma \alpha }^{\lambda }g_{\lambda \beta }+\Gamma _{\gamma \beta }^{\lambda }g_{\alpha \lambda }}$

ou encore :

${\displaystyle \partial _{\gamma }g_{\alpha \beta }-\Gamma _{\gamma \alpha }^{\lambda }g_{\lambda \beta }-\Gamma _{\gamma \beta }^{\lambda }g_{\alpha \lambda }=0}$

Mais l'expression ci-dessus est précisément celle de ${\displaystyle g_{\alpha \beta ;\gamma }}$, dérivée covariante du tenseur g.