Raisonnement par disjonction de cas

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Le raisonnement par disjonction de cas est une forme de raisonnement mathématique qui consiste à décomposer la proposition que l'on cherche à démontrer en un nombre fini de cas (sous-propositions) vérifiés indépendamment.

Proposition : Pour tout ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle {\dfrac {n(n+1)}{2}}}$ est un entier.

Démonstration : on peut séparer deux cas, ${\displaystyle n}$ est pair et ${\displaystyle n}$ est impair :

• Si ${\displaystyle n}$ est pair alors ${\displaystyle n=2k}$ avec ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ et alors ${\displaystyle {\dfrac {n(n+1)}{2}}={\dfrac {2k(2k+1)}{2}}=k(2k+1)}$ ce qui est entier.
• Si ${\displaystyle n}$ est impair, alors ${\displaystyle n=2k+1}$ avec ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ et alors ${\displaystyle {\dfrac {n(n+1)}{2}}={\dfrac {(2k+1)(2k+2)}{2}}={\dfrac {2(k+1)(2k+1)}{2}}=(k+1)(2k+1)}$ ce qui est aussi entier.

Ainsi dans les deux cas ${\displaystyle {\dfrac {n(n+1)}{2}}}$ est entier, donc c'est vrai pour tout ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

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