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En mathématiques et plus précisément en théorie des nombres, le théorème de Hardy-Ramanujan^[1], démontré par G. H. Hardy et S. Ramanujan en 1917, énonce que ${\textstyle \ln(\ln \,n)}$ est un ordre normal du nombre ${\textstyle \omega (n)}$ de facteurs premiers distincts d'un entier naturel ${\displaystyle n}$, où ${\displaystyle \ln \,n}$ désigne la fonction logarithme naturel.

Cela signifie que la plupart des nombres ont environ ce nombre de facteurs premiers distincts. Par exemple, le nombre de facteurs premiers d'un entier inférieur à un milliard ${\textstyle (10^{9})}$ est ${\textstyle \ln(\ln \,10^{9})\approx 3,03.}$

Une version plus précise indique que, pour toute fonction à valeurs réelles ${\textstyle \psi (n)}$ qui tend vers l'infini quand n → ${\displaystyle \infty }$, on a : $${\displaystyle |\omega (n)-\ln(\ln \,n)|<\psi (n){\sqrt {\ln(\ln \,n)}}}$$

Cette relation n'est pas valable que pour une proportion infinitésimale de nombres réels. Si ${\displaystyle g(x)}$ désigne le nombre d'entiers naturels ${\displaystyle n}$ inférieurs à ${\displaystyle x}$ pour lesquels l'inégalité ci-dessus n'est pas valide : alors ${\displaystyle g(x)/x}$ converge vers zéro lorsque ${\displaystyle x}$ tend vers l'infini.

Une autre preuve a été donnée par Pál Turán en 1934. La mathématicien a utilisé le crible de Turán afin de prouver la majoration :

$${\displaystyle \sum _{n\leq x}|\omega (n)-\ln(\ln \,n)|^{2}\ll x\ln(\ln \,x).}$$

G. H. Hardy et S. Ramanujan ont aussi montré l'équivalence suivante^[2]:

$${\displaystyle {\frac {\omega (1)+\omega (2)+\,...+\,\omega (n)}{n}}\sim \ln(\ln \,n)\qquad (n\rightarrow +\infty ).}$$

On dit alors que ${\textstyle \ln(\ln \,n)}$ est un ordre moyen de ${\textstyle \omega (n)}$.

Les mêmes résultats sont vrais pour ${\textstyle \Omega (n)}$, le nombre de facteurs premiers de n comptés avec multiplicité. Ce théorème est généralisé par le théorème d'Erdős–Kac, qui montre que ${\displaystyle \omega (n)}$ est essentiellement normalement distribué.

• Wentang Kuo, Yu-Ru Liu, « The Erdős–Kac theorem and its generalizations », in Jean-Marie De Koninck, Andrew Granville, Florian Luca (éd.), Anatomy of integers. D'après l'atelier CRM, Montréal, Canada, 13-17 mars 2006, Actes de CRM et notes de cours, 46, Providence, RI: American Mathematical Society, pp.   209-216, 2008 (ISBN 978-0-8218-4406-9), lien Zentralblatt MATH
• Pál Turán, « On a theorem of Hardy and Ramanujan », Journal de la London Mathematical Society, 9 (4): 274-276, doi : 10.1112 / jlms / s1-9.4.274, 1934 (ISSN 0024-6107), {$lien Zentralblatt MATH
• (en) « Hardy-Ramanujan theorem », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)

• Arithmétique et théorie des nombres