Théorème de Stark-Heegner

Le théorème de Stark-Heegner est un théorème de la théorie des nombres qui indique précisément, parmi les corps quadratiques imaginaires, lesquels ont un anneau d'entiers factoriel. Il résout le cas n = 1 du problème du nombre de classes de Gauss, qui est de déterminer combien de corps quadratiques imaginaires ont leur nombre de classes égal à n.

Soient ℚ le corps des nombres rationnels et d ≠ 1 un entier sans facteur carré (c'est-à-dire produit, ou opposé d'un produit, de nombres premiers distincts). Alors le corps de nombres ℚ(√d) est une extension de degré 2 de ℚ, appelée une extension quadratique. Le nombre de classes de ℚ(√d) est le nombre de classes d'équivalence des idéaux non nuls de l'anneau des entiers de ce corps, où deux idéaux I et J sont équivalents si et seulement s’il existe des éléments non nuls a et b de l'anneau tels que aI = bJ. Ainsi, l'anneau des entiers de ℚ(√d) est principal (ou encore : factoriel, ce qui ici est équivalent car cet anneau est de Dedekind) si et seulement si son nombre de classes est égal à 1. Le théorème de Stark-Heegner peut alors être énoncé comme suit :

Théorème — Si d < 0, alors le nombre de classes de l'anneau des entiers de ℚ(√d) est égal à 1 si et seulement si

${\displaystyle d\in \{-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163\}.}$

Ce résultat fut conjecturé en premier par le mathématicien allemand Gauss et démontré par Kurt Heegner en 1952, bien que la démonstration de Heegner ne fût pas acceptée^[1] avant que Harold Stark donne une démonstration en 1967^[2] et montre qu'elle était en réalité équivalente à celle de Heegner.

Si, inversement, d > 0, la conjecture de Gauss selon laquelle il existerait une infinité de corps quadratiques réels dont le nombre de classes vaut 1^[3] n'est toujours pas résolue. Les résultats par calculs indiquent qu'il existe un grand nombre de tels corps^[4].

• Entier de Gauss (cas d = –1)
• Entier d'Eisenstein (cas d = –3)
• Autres anneaux euclidiens parmi les anneaux d'entiers quadratiques principaux
• Liste de corps de nombres de nombre de classes égal à 1 (en)
• Nombres de Heegner (les entiers positifs opposés des neuf valeurs de d du théorème)
• Nombre chanceux d'Euler (une application)
• Forme modulaire, Invariant j, Multiplication complexe, Quartique de Klein (des outils de démonstration)

(en) Noam D. Elkies, « The Klein Quartic in Number Theory », dans The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve, coll. « MSRI Publications » (n^o 35), 1998 (lire en ligne), p. 51-101, qui explique la nouvelle preuve de Monsur A. Kenku (1985)

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