Théorème de convergence dominée

En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème de convergence dominée est un des théorèmes principaux de la théorie de l'intégration de Lebesgue.

Théorème —  Soit ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ une suite de fonctions mesurables sur un espace mesuré ${\displaystyle (E,{\mathcal {A}},\mu )}$, à valeurs réelles ou complexes, telle que :

• la suite de fonctions ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ converge simplement vers une fonction ${\displaystyle f}$ ;
• il existe une fonction intégrable ${\displaystyle g}$ telle que :

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad \forall x\in E\quad |f_{n}(x)|\leq g(x).}$

Alors ${\displaystyle f}$ est intégrable et

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int |f_{n}-f|~\mathrm {d} \mu =0.}$

En particulier :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\,\int f_{n}~\mathrm {d} \mu =\int \lim _{n\to \infty }f_{n}~\mathrm {d} \mu =\int f~\mathrm {d} \mu .}$

Démonstration par le lemme de Fatou

Référence : Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]

Commençons par montrer que ${\displaystyle f}$ est intégrable.

Puisque ${\displaystyle f}$ est limite simple d'une suite de fonctions mesurables, elle est mesurable et comme pour tout ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ on a ${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq g(x)}$, par passage à la limite, ${\displaystyle |f(x)|\leq g(x)\forall x\in E}$ donc ${\displaystyle f}$ est intégrable.

Ensuite, on a ${\displaystyle 2g-|f_{n}-f|\geq 0}$ donc on peut appliquer le lemme de Fatou,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int 2g~\mathrm {d} \mu &=\int \liminf _{n\to \infty }\;(2g-|f_{n}-f|)~\mathrm {d} \mu \\\ &\leq \liminf _{n\to \infty }\int (2g-|f_{n}-f|)~\mathrm {d} \mu \\\ &=\int 2g~\mathrm {d} \mu +\liminf _{n\to \infty }\int -|f_{n}-f|~\mathrm {d} \mu \\\ &=\int 2g~\mathrm {d} \mu -\limsup _{n\to \infty }\int |f_{n}-f|~\mathrm {d} \mu \\\end{aligned}}}$

et comme ${\displaystyle \int g~\mathrm {d} \mu <\infty \;}$ alors, ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\int |f_{n}-f|~\mathrm {d} \mu \leq 0}$

d'où

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int |f_{n}-f|~\mathrm {d} \mu =0}$

On déduit de cela :

${\displaystyle \left|\int f_{n}~\mathrm {d} \mu -\int f~\mathrm {d} \mu \right|=\left|\int (f_{n}-f)~\mathrm {d} \mu \right|\leq \int |f_{n}-f|~\mathrm {d} \mu \;\;{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\;0}$

et donc

${\displaystyle \int f_{n}~\mathrm {d} \mu \;\;{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\;\int f~\mathrm {d} \mu .}$

Soit ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ une suite de fonctions continues à valeurs réelles ou complexes sur un intervalle ${\displaystyle I}$ de la droite réelle. On fait les deux hypothèses suivantes :

• la suite ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ converge simplement vers une fonction ${\displaystyle f}$ ;
• il existe une fonction continue ${\displaystyle g}$ telle que${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\forall x\in I,|f_{n}(x)|\leq g(x){\text{ et }}\int _{I}g(x){\rm {d}}x<\infty .}$Alors${\displaystyle \int |f(x)|\,{\rm {d}}x<\infty {\text{ et }}\lim _{n\to \infty }\int f_{n}(x)\,{\rm {d}}x=\int f(x)\,{\rm {d}}x.}$

L'existence d'une fonction intégrable ${\displaystyle g}$ majorant toutes les fonctions |f_n| équivaut à l'intégrabilité de la fonction ${\displaystyle \sup _{n}|f_{n}|}$ (la plus petite fonction majorant toutes les fonctions |f_n|).

Cette hypothèse est indispensable pour appliquer le théorème : par exemple sur [0, +∞[, la suite des fonctions f_n = 1/n1_{[0, n[} — où n > 0 et 1_{[0, n[} désigne la fonction indicatrice de l'intervalle [0, n[ — converge simplement vers la fonction nulle (la convergence est même uniforme) mais la suite des intégrales des f_n, loin de tendre vers l'intégrale (nulle) de cette limite, vaut constamment 1. D'après le théorème, ${\displaystyle \sup _{n}|f_{n}|}$ n'est donc pas intégrable. (Effectivement : ${\displaystyle \sup _{n}|f_{n}(t)|}$ = 1/E(t) + 1, or la série harmonique diverge.)

Il peut cependant arriver que la conclusion souhaitée soit vraie sans qu'on puisse la déduire du théorème : par exemple sur [0, +∞[, la suite des fonctions f_n = 1_{[n, n + 1/n[} converge vers 0 à la fois simplement et dans L¹, bien que sup_n|f_n| ne soit pas intégrable.

Appliquons le théorème au cas où chaque f_n est l'indicatrice d'une partie A_n de E. Puisque ces fonctions sont à valeurs réelles, la convergence simple de cette suite de fonctions équivaut à l'égalité de ses limites inférieure et supérieure, respectivement égales aux indicatrices des limites inférieure et supérieure de la suite d'ensembles. On obtient donc :

Soit ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ une suite de parties mesurables d'un espace mesuré ${\displaystyle (E,{\mathcal {A}},\mu )}$ telle que :

• les limites inférieure et supérieure de la suite ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ sont égales ;
• ${\displaystyle \mu (\cup _{n\in \mathbb {N} }A_{n})<\infty .}$

Alors l'ensemble mesurable A défini par

${\displaystyle A:=\liminf _{n}A_{n}=\limsup _{n}A_{n}}$

est de mesure finie et vérifie :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu (A_{n}\Delta A)=0,}$

où la notation Δ désigne la différence symétrique.

En particulier :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu (A_{n})=\mu (A).}$

Remarquons toutefois que l'on peut obtenir ce résultat directement, sans avoir recours au théorème de convergence dominée. En effet

${\displaystyle \mu (A_{n}\Delta A)=\mu (A_{n}\cup A)-\mu (A_{n}\cap A)\leq \mu (\cup _{p\geq n}A_{p})-\mu (\cap _{p\geq n}A_{p}){\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\mu (\limsup _{n}A_{n})-\mu (\liminf _{n}A_{n})=0.}$

En théorie de la mesure on peut définir la notion de propriété presque partout, c'est pourquoi on peut énoncer le théorème de convergence dominée de façon plus générale :

Théorème —  Soit ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ une suite de fonctions mesurables sur un espace mesuré ${\displaystyle (E,{\mathcal {A}},\mu )}$, à valeurs dans ℝ ou ℂ, telle que :

• la suite de fonctions ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ admet une limite presque partout, c'est-à-dire, ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}$ existe pour presque tout x ;
• il existe une fonction intégrable g telle que pour tout entier naturel n,${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq g(x)}$ μ-presque partout.

Alors, il existe une fonction intégrable f telle que f_n converge vers f presque partout, et

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int f_{n}~\mathrm {d} \mu =\int f~\mathrm {d} \mu .}$

Afin de démontrer ce théorème, il suffit de faire en sorte de se ramener au cas précédent en s'affranchissant des parties négligeables.

Remarque :

Dans le cas d'une mesure de probabilité, la première hypothèse peut être modifiée en :

• la suite de fonctions ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ converge en probabilité vers une fonction mesurable f.

Si ${\displaystyle f\in \mathrm {L} ^{1}(\mathbb {R} )}$, sa transformée de Fourier ${\displaystyle y\mapsto {\widehat {f}}(y)=\int f(x){\rm {e}}^{-{\rm {i}}xy}\,{\rm {d}}x}$ est continue. La vérification de l'hypothèse de domination est immédiate, puisque ${\displaystyle \left|f(x){\rm {e}}^{-{\rm {i}}xy}\right|=|f(x)|}$ ; le théorème de convergence dominée permet de voir que ${\displaystyle {\widehat {f}}}$ est séquentiellement continue, donc continue.

• Intégrale paramétrique
• Théorème d'interversion série-intégrale
• Théorème de convergence monotone

• Théorème de la convergence dominée de Lebesgue. Corollaires sur les-mathematiques.net
• Le Théorème de la convergence dominée pour les fonctions Riemann-intégrables, J.-F. Burnol, notes d'un cours de DEUG à l'université de Lille
• Théorèmes de Lebesgue dans un cas simple

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