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Ne doit pas être confondu avec Théorème de Borel-Cantelli ou Théorème de Borel-Lebesgue.

En mathématiques, le théorème de Borel^{[1],[2],[3],[4],[5]}, ou lemme de Borel^[6], est un résultat d'analyse, sur l'existence de fonctions de série de Taylor arbitraire.

Il a été démontré en 1884 par Giuseppe Peano^[7],[8] et en 1895 par Émile Borel^[9]. Auparavant, en 1876, Paul du Bois-Reymond^[10] avait donné un premier exemple d'une série de Taylor divergente en tout point non nul. Le théorème de Borel généralise ce résultat.

Pour toute suite ${\displaystyle (a_{n})}$ de nombres complexes, il existe une fonction ${\displaystyle f}$ de classe ${\displaystyle C^{\infty }}$, d'une variable réelle et à valeurs complexes, définie au voisinage de 0, telle que

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad f^{(n)}(0)=a_{n}.}$

Une conséquence de ce théorème est qu'il existe des fonctions différentes de leur série de Taylor sur tout voisinage de 0 : il suffit par exemple de prendre la fonction ${\displaystyle f}$ associée à la suite ${\displaystyle \left((n!)^{2}\right)}$.

Soit ${\displaystyle U}$ un ouvert de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ et ${\displaystyle (f_{n})}$ une suite de fonctions de classe ${\displaystyle C^{\infty }}$ à valeurs complexes sur ${\displaystyle U}$. Alors il existe une fonction ${\displaystyle F=F(t,x)}$ de classe ${\displaystyle C^{\infty }}$ à valeurs complexes sur ${\displaystyle \mathbb {R} \times U}$, solution de l'équation aux dérivées partielles :

${\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} \quad \forall x\in U\qquad {\frac {\partial ^{k}F}{\partial t^{k}}}(0,x)=f_{k}(x).}$

Il existe une preuve constructiviste de ce résultat^[11].

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