Per esempio, 6 e 35 sono coprimi, ma 6 e 27 non lo sono, perché entrambi sono divisibili anche per 3.
1 è coprimo con ogni numero intero; 0 è coprimo solo a 1 e -1.
Un metodo efficiente per determinare se due numeri sono coprimi è fornito dall'algoritmo di Euclide.
I numeri a e b sono coprimi se e solo se esistono interix e y tali che ax + by = 1. Equivalentemente, b ha un inverso moltiplicativo modulo a: esiste un intero y tale che by ≡ 1 (mod a).
Se a e b sono coprimi e a divide un prodotto bc, allora a divide c.
Se a e b sono coprimi e bx ≡ by (moda), allora x ≡ y (mod a). In altre parole: b produce un'unità nell'anelloZa degli interi modulo a.
I due interi a e b sono coprimi se e solo se il punto con coordinate (a, b) in un sistema di assi cartesiani è "visibile" dall'origine (0,0), nel senso che non esiste alcun punto di coordinate intere tra l'origine e il punto (a, b).
La probabilità che due interi scelti a caso siano primi tra loro è
Se due numeri naturalia e b sono coprimi i numeri 2a - 1 e 2b - 1 sono coprimi.
Generalizzazione
Due idealiA e B nell'anello commutativo R sono detti coprimi se A + B = R. Ciò consente di generalizzare l'identità di Bézout. Se A e B sono coprimi, allora AB = A∩B; inoltre, se C è un terzo ideale tale che A contiene BC, allora A contiene C.
Con questa definizione, due ideali principali (a) e (b) nell'anello degli interi Z sono coprimi se e solo se a e b sono coprimi.
Note
^co-primi; l'accento non è sulla o ma sulla prima i: deriva dalla parola "primi" affiancata dal prefisso "co"
