Действительно, проективная прямая ${\displaystyle x_{3}=0}$ перейдёт сама в себя, если из ${\displaystyle x_{3}=0}$ при произвольных координатах ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ следует ${\displaystyle x_{3}^{\prime }=0}$. Последнее условие выполняется тогда и только тогда, когда ${\displaystyle c_{31}=c_{32}=0}$. В итоге, поскольку определитель ${\displaystyle \Delta \neq 0}$ и поэтому коэффициент ${\displaystyle c_{33}\neq 0}$, аффинные преобразования в однородных координатах имеют следующий вид, когда у конечных точек третья однородная координата ${\displaystyle x_{3}}$ никогда не находится на бесконечно удалённой прямой ${\displaystyle x_{3}=0}$:

${\displaystyle \rho ^{\prime }x_{1}^{\prime }=c_{11}x_{1}+c_{12}x_{2}+c_{13}x_{3}}$,

${\displaystyle \rho ^{\prime }x_{2}^{\prime }=c_{21}x_{1}+c_{22}x_{2}+c_{23}x_{3}}$,

${\displaystyle \rho ^{\prime }x_{3}^{\prime }=c_{33}x_{3}}$.

Для получения аналитического представления аффинной группы в неоднородных координатах воспользуемся уже полученным аналитическим представлением аффинной группы в однородных координатах:

${\displaystyle \rho ^{\prime }x_{1}^{\prime }=c_{11}x_{1}+c_{12}x_{2}+c_{13}x_{3}}$,

${\displaystyle \rho ^{\prime }x_{2}^{\prime }=c_{21}x_{1}+c_{22}x_{2}+c_{23}x_{3}}$,

${\displaystyle \rho ^{\prime }x_{3}^{\prime }=c_{33}x_{3}}$.

Произведём с этими равенствами следующие действия:

• поскольку ${\displaystyle \rho ^{\prime }\neq 0}$, ${\displaystyle x_{3}\neq 0}$, ${\displaystyle x_{3}^{\prime }\neq 0}$ и ${\displaystyle c_{33}\neq 0}$, разделим первое и второе равенства на третье;
• введём новые переменные

${\displaystyle {\frac {x_{1}}{x_{3}}}=x}$, ${\displaystyle {\frac {x_{2}}{x_{3}}}=y}$, ${\displaystyle {\frac {x_{1}^{\prime }}{x_{3}^{\prime }}}=x^{\prime }}$, ${\displaystyle {\frac {x_{2}^{\prime }}{x_{3}^{\prime }}}=y^{\prime }}$;

• введём новые обозначения коэффициентов

${\displaystyle {\frac {c_{i1}}{c_{33}}}=a_{i}}$, ${\displaystyle {\frac {c_{i2}}{c_{33}}}=b_{i}}$, ${\displaystyle {\frac {c_{i3}}{c_{33}}}=c_{i}}$.

В итоге получим аналитическое представление аффинной группы в неоднородных координатах:

${\displaystyle x^{\prime }=a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}$,

${\displaystyle y^{\prime }=a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}$.

Существенно, что каждое такое преобразование есть аффинное только при условии

${\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\\\end{vmatrix}}\neq 0}$,

иначе это преобразование не будет биективным, то есть взаимно однозначным.

Действительно, проективная гиперплоскость ${\displaystyle x_{n+1}=0}$ перейдёт сама в себя, если из равенства ${\displaystyle x_{n+1}=0}$ при произвольных координатах ${\displaystyle x_{p}}$ следует равенство ${\displaystyle x_{n+1}^{\prime }=0}$. Последнее условие выполняется тогда и только тогда, когда ${\displaystyle c_{{n+1}p}=C_{n+1}^{p}=0}$. В итоге, поскольку определитель ${\displaystyle \Delta \neq 0}$ и поэтому коэффициент ${\displaystyle c_{{n+1}{n+1}}=C_{n+1}^{n+1}\neq 0}$, аффинные преобразования в однородных координатах имеют следующий вид, когда у конечных точек ${\displaystyle (n+1)}$-я однородная координата ${\displaystyle x_{n+1}}$ никогда не находится на бесконечно удалённой прямой ${\displaystyle x_{n+1}=0}$:

${\displaystyle \rho ^{\prime }x_{p}^{\prime }=\sum _{k=1}^{n+1}{c_{pk}x_{k}}}$, ${\displaystyle \rho ^{\prime }x_{n+1}^{\prime }=c_{{n+1}{n+1}}x_{n+1}}$,

или

${\displaystyle \rho ^{\prime }x_{p}^{\prime }=C_{p}^{k}x_{k}}$, ${\displaystyle \rho ^{\prime }x_{n+1}^{\prime }=C_{n+1}^{n+1}x_{n+1}}$.

Для получения аналитического представления аффинной группы в неоднородных координатах воспользуемся уже полученным аналитическим представлением аффинной группы в однородных координатах:

${\displaystyle \rho ^{\prime }x_{p}^{\prime }=\sum _{k=1}^{n+1}{c_{pk}x_{k}}}$, ${\displaystyle \rho ^{\prime }x_{n+1}^{\prime }=c_{{n+1}{n+1}}x_{n+1}}$,

или

${\displaystyle \rho ^{\prime }x_{p}^{\prime }=C_{p}^{k}x_{k}}$, ${\displaystyle \rho ^{\prime }x_{n+1}^{\prime }=C_{n+1}^{n+1}x_{n+1}}$.

Произведём с этими равенствами следующие действия:

• поскольку ${\displaystyle \rho ^{\prime }\neq 0}$, ${\displaystyle x_{n+1}\neq 0}$, ${\displaystyle x_{n+1}^{\prime }\neq 0}$ и ${\displaystyle c_{{n+1}{n+1}}\neq 0}$, разделим первые ${\displaystyle n}$ равенств на последнее ${\displaystyle n}$-е;
• введём новые переменные

${\displaystyle {\frac {x_{p}}{x_{n+1}}}=x^{p}}$, ${\displaystyle {\frac {x_{p}^{\prime }}{x_{n+1}^{\prime }}}=x^{\prime p}}$;

• введём новые обозначения коэффициентов

${\displaystyle {\frac {c_{pq}}{c_{{n+1}{n+1}}}}=A_{q}^{p}}$, ${\displaystyle {\frac {c_{p{n+1}}}{c_{{n+1}{n+1}}}}=a^{p}}$.

В итоге получим аналитическое представление аффинной группы в неоднородных координатах:

${\displaystyle x^{\prime p}=\sum _{q=1}^{n}{A_{q}^{p}x^{q}}+a^{p}}$, или ${\displaystyle x^{\prime p}=A_{q}^{p}x^{q}+a^{p}}$.

Существенно, что каждое такое преобразование есть аффинное только при условии

${\displaystyle \Delta =\det(A_{q}^{p})\neq 0}$,

иначе это преобразование не будет биективным, то есть взаимно однозначным.

Рассмотрим два аффинных преобразования ${\displaystyle f_{1}}$ и ${\displaystyle f_{2}}$ пространства ${\displaystyle A^{n}}$:

${\displaystyle M^{\prime }=f_{1}(M)}$ и ${\displaystyle M^{\prime }=f_{2}(M)}$

вместе с их аналитическими представлениями

${\displaystyle f_{1}:x^{\prime p}=A_{(1)q}^{p}x^{q}+a_{(1)}^{p}}$ и ${\displaystyle f_{2}:x^{\prime p}=A_{(2)q}^{p}x^{q}+a_{(2)}^{p}}$, ${\displaystyle p,q,r=1,2,\ldots ,n}$.

Возьмём любую точку ${\displaystyle M(x^{p})}$ пространства, тогда первое аффинное преобразование ${\displaystyle f_{1}}$ переведёт её в некоторую точку ${\displaystyle M^{\prime }(x^{\prime p})}$, а второе аффинное преобразование ${\displaystyle f_{2}}$, в свою очередь, переведёт последнюю точку ${\displaystyle M^{\prime }(x^{\prime p})}$ в третью точку ${\displaystyle M^{\prime \prime }(x^{\prime \prime p})}$. В итоге, используя оба аналитических представления, получаем цепочку равенств:

${\displaystyle f_{2}f_{1}:x^{\prime \prime p}=A_{(2)q}^{p}x^{\prime q}+a_{(2)}^{p}=A_{(2)q}^{p}(A_{(1)r}^{q}x^{r}+a_{(1)}^{q})+a_{(2)}^{p}=}$

${\displaystyle =(A_{(2)q}^{p}A_{(1)r}^{q})x^{r}+(A_{(2)q}^{p}a_{(1)}^{q}+a_{(2)}^{p})}$.

Теперь просто сделаем замены

${\displaystyle A_{(2)q}^{p}A_{(1)r}^{q}=A_{r}^{p}}$, ${\displaystyle A_{(2)q}^{p}a_{(1)}^{q}+a_{(2)}^{p}=a^{p}}$,

получим:

${\displaystyle f_{2}f_{1}:x^{\prime \prime p}=A_{r}^{p}x^{r}+a^{p}}$.

Последнее равенство есть аналитическая форма композиции преобразований

${\displaystyle M^{\prime \prime }=f_{2}(M^{\prime })=f_{2}(f_{1}(M))}$.

Равенства

${\displaystyle A_{(2)q}^{p}A_{(1)r}^{q}=A_{r}^{p}}$

просто означают, что квадратная матрица ${\displaystyle (A_{r}^{p})}$ есть произведение квадратных матриц ${\displaystyle (A_{(1)r}^{q})}$ и ${\displaystyle (A_{(2)q}^{p})}$, то есть

${\displaystyle (A_{r}^{p})=(A_{(2)q}^{p})(A_{(1)r}^{q})}$.

Следовательно, композиция двух аффинных преобразований пространства ${\displaystyle f_{1}}$ и ${\displaystyle f_{2}}$ представляет собой линейное преобразование

${\displaystyle f_{2}f_{1}:x^{\prime \prime p}=A_{r}^{p}x^{r}+a^{p}}$,

квадратная матрица которого равна произведению квадратных матриц преобразований ${\displaystyle f_{1}}$ и ${\displaystyle f_{2}.}$

Из последней формулы для квадратных матриц вытекает числовое равенство

${\displaystyle |A_{r}^{p}|=|A_{(2)q}^{p}||A_{(1)r}^{q}|}$,

где ${\displaystyle |A_{(1)r}^{q}|}$, ${\displaystyle |A_{(2)q}^{p}|}$ и ${\displaystyle |A_{r}^{p}|}$ суть определители квадратных матриц ${\displaystyle (A_{(1)r}^{q})}$, ${\displaystyle (A_{(2)q}^{p})}$ и ${\displaystyle (A_{r}^{p})}$ соответственно, и если ${\displaystyle |A_{(1)r}^{q}|\neq 0}$ и ${\displaystyle |A_{(2)q}^{p}|\neq 0}$, то тогда и ${\displaystyle |A_{r}^{p}|\neq 0.}$

1. Из аналитического представления аффинного преобразования пространства

${\displaystyle x^{\prime p}=A_{q}^{p}x^{q}+a^{p}}$

величины ${\displaystyle x^{q}}$ определяются через величины ${\displaystyle x^{\prime p}}$ линейным неоднородным образом, поскольку определитель этих неоднородных линейных уравнений ${\displaystyle |A_{q}^{p}|\neq 0.}$. То есть преобразование, обратное аффинному преобразованию пространства, есть невырожденное неоднородное линейное преобразование.

2. Невырожденное неоднородное линейное преобразование, получаемое обращением

${\displaystyle x^{\prime p}=A_{q}^{p}x^{q}+a^{p}}$,

обладает квадратной матрицей, обратной квадратной матрице исходного преобразования ${\displaystyle (A_{q}^{p})}$, с определителем ${\displaystyle {\frac {1}{|A_{q}^{p}|}}\neq 0}$.