Выберем произвольное ${\displaystyle \varepsilon >0}$. Рассмотрим такие покрытия множеств ${\displaystyle E_{k}}$ элементами ${\displaystyle I_{k,j}}$, что ${\displaystyle E_{k}\subset {\textstyle \bigcup _{j}^{\infty }}I_{k,j}}$ и ${\displaystyle {\textstyle \sum _{j}^{\infty }}mI_{k,j}\leqslant \mu ^{\ast }E_{k}+{\frac {\varepsilon }{2^{k}}}}$ (такие существуют по определению точной нижней грани). Тогда ${\displaystyle \textstyle {E\subset \bigcup _{k}^{\infty }\bigcup _{j}^{\infty }I_{k,j}}}$ — покрытие множества элементами ${\displaystyle S}$, то есть для внешней меры как для точной нижней грани мер покрытий:

${\displaystyle \mu ^{\ast }E\leqslant \sum _{k}^{\infty }\sum _{j}^{\infty }mI_{k,j}\leqslant \sum _{k}^{\infty }\mu ^{\ast }E_{k}+\sum _{k}^{\infty }{\frac {\varepsilon }{2^{k}}}=\sum _{k}\mu ^{\ast }E_{k}+\varepsilon .}$

В силу произвольного выбора ${\displaystyle \varepsilon }$, отсюда вытекает доказываемое.

1. Достаточно взять ${\displaystyle B_{\varepsilon }=E\in R(S).}$ Тогда ${\displaystyle \mu ^{*}(E\bigtriangleup E)=\mu ^{*}=0<\varepsilon .}$
2. Пусть ${\displaystyle A\subseteq {\textstyle \bigcup _{k}}B_{k},\ B_{k}\in S.}$ Значит, по определениям продолжения меры на кольцо и внешней меры ${\displaystyle \mu ^{*}A\leqslant {\textstyle \sum _{k}}mB_{k}=mA.}$ С другой стороны, если ${\displaystyle A\subseteq {\textstyle \bigcup _{k}}\ A_{k}}$, то из-за счётной монотонности стандартной меры ${\displaystyle mA\leqslant {\textstyle \sum _{k}}mB_{k}}$, то есть, переходя к нижней грани, ${\displaystyle mA\leqslant \mu ^{*}A.}$ Следовательно, ${\displaystyle mA=\mu ^{*}A=\mu A.}$

1. Докажем, что ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ — алгебра. Пусть ${\displaystyle A_{1},A_{2}\in {\mathfrak {M}}.}$ Тогда по определению существуют ${\displaystyle B_{1},B_{2}\in R(S)}$ такие, что ${\displaystyle \mu ^{*}(A_{1,2}\bigtriangleup B_{1,2})<{\frac {\varepsilon }{2}}.}$ Заметим, что ${\displaystyle (A_{1}\cup A_{2})\bigtriangleup (B_{1}\cup B_{2})\subseteq (A_{1}\bigtriangleup B_{1})\cup (A_{2}\bigtriangleup B_{2})}$, что благодаря полуаддитивности означает ${\displaystyle \mu ^{*}{\big (}(A_{1}\cup A_{2})\bigtriangleup (B_{1}\cup B_{2}){\big )}\leqslant \mu ^{*}(A_{1}\bigtriangleup B_{1})+\mu ^{*}(A_{2}\bigtriangleup B_{2})<\varepsilon }$, но ${\displaystyle B_{1}\cup B_{2}\in R(S)}$ по свойству кольца, поэтому ${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\in {\mathfrak {M}}.}$ Также ${\displaystyle X\setminus B_{1}\in R(S)}$ и${\displaystyle \mu ^{*}{\big (}(X\setminus A_{1})\bigtriangleup (X\setminus B_{1}){\big )}=\mu ^{*}(A_{1}\bigtriangleup B_{1})<\varepsilon }$, откуда, ${\displaystyle X\setminus A_{1}\in {\mathfrak {M}}.}$ Наконец, ${\displaystyle \varnothing \in {\mathfrak {M}}}$, значит, ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ — алгебра.

2. Докажем, что ${\displaystyle \mu }$ — мера на ней. Неотрицательность меры Лебега очевидна. Покажем ее аддитивность. Так как ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ — кольцо, то достаточно рассмотреть случай двух множеств ${\displaystyle A=A_{1}\sqcup A_{2},\ A\in {\mathfrak {M}}.}$ Так как ${\displaystyle A_{1}}$ и ${\displaystyle A_{2}}$ не пересекаются, ${\displaystyle (B_{1}\cap B_{2})\subseteq (A_{1}\bigtriangleup B_{1})\cup (A_{2}\bigtriangleup B_{2}).}$ Тогда из указанного, свойств внешней меры и соотношения ${\displaystyle (A_{1}\cup A_{2})\bigtriangleup (B_{1}\cup B_{2})\subseteq (A_{1}\bigtriangleup B_{1})\cup (A_{2}\bigtriangleup B_{2})}$ имеем:

• ${\displaystyle \mu ^{*}A_{1}-\mu ^{*}B_{1}<\mu ^{*}(A_{1}\bigtriangleup B_{1})<\varepsilon ,\quad \mu ^{*}A_{2}-\mu ^{*}B_{2}<\mu ^{*}(A_{2}\bigtriangleup B_{2})<\varepsilon }$ из третьего свойства внешней меры;
• ${\displaystyle \mu ^{*}(B_{1}\cap B_{2})\leqslant \mu ^{*}(A_{1}\bigtriangleup B_{1})+\mu ^{*}(A_{2}\bigtriangleup B_{2})<2\varepsilon }$ из монотонности в соотношении ${\displaystyle (B_{1}\cap B_{2})\subseteq (A_{1}\bigtriangleup B_{1})\cup (A_{2}\bigtriangleup B_{2})}$, верном, поскольку ${\displaystyle A_{1}}$ и ${\displaystyle A_{2}}$ не пересекаются;
• ${\displaystyle \mu ^{*}(B_{1}\cup B_{2})-\mu ^{*}(A_{1}\sqcup A_{2})\leqslant \mu ^{*}{\big (}(A_{1}\sqcup A_{2})\bigtriangleup (B_{1}\bigtriangleup B_{2}){\big )}\leqslant \mu ^{*}(A_{1}\bigtriangleup B_{1})+\mu ^{*}(A_{2}\bigtriangleup B_{2})<2\varepsilon }$ из третьего свойства и монотонности.

Поскольку ${\displaystyle m}$ — мера на ${\displaystyle R(S)}$, ${\displaystyle m(B_{1}\cup B_{2})=mB_{1}+mB_{2}-m(B_{1}\cap B_{2}).}$ Так как ${\displaystyle \mu A=\mu ^{*}A}$ и для множеств кольца ${\displaystyle \mu ^{*}A=mA}$, получаем: ${\displaystyle \mu (A_{1}\sqcup A_{2})\geqslant m(B_{1}\cup B_{2})=mB_{1}+mB_{2}-m(B_{1}\cap B_{2})-2\varepsilon \geqslant mB_{1}+mB_{2}-4\varepsilon \geqslant \mu A_{1}+\mu A_{2}-6\varepsilon }$, то есть в силу произвольности ${\displaystyle \varepsilon }$, ${\displaystyle \mu (A_{1}\sqcup A_{2})\geqslant \mu A_{1}+\mu A_{2}.}$ Совместно с неравенством ${\displaystyle \mu (A_{1}\sqcup A_{2})\leqslant \mu A_{1}+\mu A_{2}}$ (полуаддитивность внешней меры) получаем ${\displaystyle \mu (A_{1}\sqcup A_{2})=\mu A_{1}+\mu A_{2}.}$

3. Докажем, что ${\displaystyle \mu }$ счётно-аддитивна. Если дан конечный набор непересекающихся множеств ${\displaystyle \{A_{k}\}_{k=1}^{n}}$, которые вложены в произвольное множество ${\displaystyle A}$, то найдутся такие множества ${\displaystyle \{A_{k}\}_{k=n+1}^{s}}$, что ${\displaystyle A={\textstyle \bigsqcup _{k=1}^{s}}A_{k}.}$ Тогда по свойству меры ${\displaystyle \mu A=\textstyle {\sum _{k=1}^{s}\mu A_{k}\geqslant \sum _{k=1}^{n}\mu A_{k}.}}$ Случай счётного набора множеств получается предельным переходом. В то же время, неравенство ${\displaystyle \textstyle {\mu ^{*}A\leqslant \sum _{k=1}^{\infty }\mu ^{*}A_{k}}}$ следует из полуаддитивности внешней меры. Значит, для ${\displaystyle \textstyle {A=\bigcup _{k=1}^{\infty }A_{k}}}$ верно

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\mu A_{k}\geqslant \mu ^{*}A=\mu A\geqslant \sum _{k=1}^{\infty }\mu A_{k}.}$

4. Докажем, что ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ — сигма-алгебра. Пусть ${\displaystyle A={\textstyle \bigcup _{n}}A_{n}}$, где ${\displaystyle A_{n}\in {\mathfrak {M}}}$. Так как мы уже знаем, что ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ — кольцо, то без ограничения общности можно считать, что ${\displaystyle A_{n}}$ попарно не пересекаются (иначе перейдем к ${\displaystyle B_{n}=\in {\mathfrak {M}}}$). Так как ${\displaystyle \mu }$ — мера на ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$, то в силу полуаддитивности ${\displaystyle \mu ^{*}}$ при каждом ${\displaystyle N}$ выполнено неравенство

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\mu A_{n}=\mu \left(\bigsqcup _{n=1}^{N}A_{n}\right)=\mu ^{*}\left(\bigsqcup _{n=1}^{N}A_{n}\right)\leqslant \mu ^{*}A.}$

В частности ряд сходится ${\displaystyle {\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }}\mu A_{n}.}$ Пусть теперь задано ${\displaystyle \varepsilon >0}$. Выберем такое ${\displaystyle N}$, что ${\displaystyle {\textstyle \sum _{n=N+1}^{\infty }}\mu A_{n}<{\frac {\varepsilon }{2}}.}$ Положим ${\displaystyle D={\textstyle \bigsqcup _{n=N+1}^{\infty }}A_{n}.}$ Тогда из полуаддитивности внешней меры следует

${\displaystyle \mu ^{*}D\leqslant \sum _{n=N+1}^{\infty }\mu ^{*}A_{n}=\sum _{n=N+1}^{\infty }\mu A_{n}<{\frac {\varepsilon }{2}}.}$

Множество ${\displaystyle C={\textstyle \bigsqcup _{n=1}^{N+1}}A_{n}}$ измеримо, так как ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ — кольцо. По определению найдется такое ${\displaystyle B\in R(S)}$ такое, что ${\displaystyle \mu ^{*}(C\bigtriangleup B)<{\frac {\varepsilon }{2}}.}$ Замечая, что ${\displaystyle A\bigtriangleup B\subseteq (C\bigtriangleup B)\cup D}$, получаем ${\displaystyle \mu ^{*}(A\bigtriangleup B)\leqslant \mu ^{*}(C\bigtriangleup B)+\mu ^{*}D<\varepsilon .}$ Следовательно, ${\displaystyle A\in {\mathfrak {M}}.}$

Согласно монотонности и неотрицательности внешней меры, ${\displaystyle 0\leqslant \mu ^{*}B\leqslant \mu ^{*}A=\mu A=0}$, откуда ${\displaystyle \mu ^{*}B=0.}$ Теперь достаточно взять ${\displaystyle B_{\varepsilon }=\varnothing \in R(S).}$ Тогда ${\displaystyle \mu ^{*}(B\bigtriangleup \varnothing )=\mu ^{*}(B)=0<\varepsilon }$ для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$.