Непредикати́вность определения в математике и логике, нестрого говоря, означает, что осмысленность определения предполагает наличие определяемого объекта^[1]. Пример: объект ${\displaystyle x}$ определяется как такой элемент некоторого множества, который удовлетворяет определённому отношению между ним и всеми элементами этого множества (включая и само ${\displaystyle x}$)^[2]. В некоторых случаях непредикативное определение может привести к недоразумениям или даже противоречиям. Противоположное по смыслу понятие — предикативность.

Для определений на формальном языке «Математическая энциклопедия» приводит более строгий вариант:

Не существует общепризнанного чёткого определения непредикативности, различные источники дают сходные, но разные определения. Например, встречается такое: определение объекта X непредикативно, если оно либо ссылается на само X, либо (чаще всего) на множество ${\displaystyle M}$, содержащее X; при этом ${\displaystyle M}$ представляется законченным, хотя данное определение может повлиять на его состав^[3][4].

Наиболее известный пример непредикативного построения — парадокс Рассела, в котором определяется совокупность всех множеств, не содержащих самих себя. Парадокс заключается в том, что так определённое множество внутренне противоречиво — оно одновременно и содержит себя, и не содержит. Наглядный исторический вариант этого парадокса — «парадокс брадобрея»: определение «житель деревни, который бреет тех жителей этой деревни, которые не бреются сами», является непредикативным, так как определяет жителя деревни, используя его отношения со всеми жителями деревни (а, значит, и с ним самим)^[2]. Непредикативность обнаруживается и в других парадоксах теории множеств^[3].

К непредикативным формулировкам часто относят и парадокс всемогущества: «Может ли Бог создать камень, который он сам не сможет поднять?» Здесь используется понятие «всемогущество», определение которого внутренне противоречиво^[5]. Аналогично устроен «парадокс лжеца», в котором утверждение отрицает само себя.

В математике существует, однако, немалое количество часто используемых непредикативных определений, не создающих проблем и не имеющих простого предикативного варианта. В классическом анализе, например, таково определение точной нижней грани числового множества^[6]:

Другой пример общепринятого и вполне безопасного непредикативного определения в анализе — определение максимального значения функции на заданном интервале, поскольку определяемое значение зависит от всех прочих, включая самого себя^[7].

Непредикативные конструкции использует доказательство знаменитой теоремы Гёделя о неполноте: построенная в итоге «неразрешимая формула» утверждает недоказуемость самой себя^[8].

Наконец, в логике и информатике существуют рекурсивные определения и рекурсивные алгоритмы, в которых непредикативность изначально предусмотрена и является их неотъемлемой составной частью.

Термины «предикативный» и «непредикативный» были введены в статье Рассела (1907)^[9], хотя смысл термина тогда был несколько иным. Как опасный порочный круг непредикативные определения осудил Анри Пуанкаре (1905—1906, 1908), он считал их главным источником парадоксов теории множеств. Рассел поддержал эту оценку и в своей монографии «Principia Mathematica» принял меры по недопущению непредикативности (теория типов и «аксиома сводимости»)^[10][11]. Герман Вейль в своей книге «Das Kontinuum» изложил философскую позицию, которую часто называют «предикативизм»^[12].

Эрнст Цермело в 1908 году выступил с возражениями против чрезмерно радикального подхода и привёл два примера вполне безобидных непредикативных определений, часто используемых в анализе. Герман Вейль попытался найти предикативный аналог определения наименьшей верхней грани, но успеха не добился. С тех пор никому так и не удалось построить анализ в полном объёме на строго предикативной основе^[1][3].

• Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. М., 1947.
• Гришин В. Н. Непредикативное определение // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
• Клайн М. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984. — 446 с.
• Непредикативное определение // Философский энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1983. — 840 с.
• Френкель Α.- Α., Баρ-Xиллел И. Основания теории множеств. М., 1966.
• Чёрч Α. Введение в математическую логику. М., 1960.