Егор Иванович родился 14-го июля 1789 года в приходе Св. Якоби, Эстляндской губернии, где его отец был пастором. Первоначальное образование получил в Ревельской гимназии, а в 1806[6][7] году поступил для изучения медицины в Дерптский университет. Защитив диссертацию: «Initiis morborum» (16-го июля 1811 года[8]), Раух получил степень доктора медицины и хирургии и отправился в Петербург, где занялся практикой.
…я уже писала об этом графу Толстому, но не рассчитываю на его содействие. Если Вы позволите, господин Раух представит все необходимые документы, подтверждающие мою к нему благосклонность; положительный отзыв Штейнеля, приложенный к этому письму также подтверждает её. Это человек знающий и с прекрасным характером.
Там же прилагается рекомендательное письмо графа Штейнеля, в котором он рекомендует принцессе Антуанетте доктора Рауха, служившего в егерском полку, сформированном в Выборге, в чине коллежского асессора[9].
Масон, в 1817—1819 годах член петербургской ложи «Петра к истине»[10].
В 1828 году исследовал минеральные источники Старой Руссы, где в 1834 году при его непосредственном участии было открыто «Заведение минеральных вод в Старой Руссе», относящееся к военному ведомству[11].
В числе лейб-медиков Крейтона В. П. (1791—1864), Арендта Н. Ф. (1785—1859) с 4 по 15 марта 1829 года лечил императора Николая I[12]. В 1829 году, когда прочно установилась его репутация, как одного из лучших врачей столицы, Е. И. Раух был приглашен к заболевшей Императрице Александре Феодоровне и назначен её лейб-медиком. В 1833 году он сопровождал её в путешествии за границу. В должности лейб-медика Е. И. Раух пробыл 16 лет.
Е. И. Раух стоял у истоков создания и был активным членом «Немецкого врачебного общества в С.-Петербурге» (нем.Der deutsche arztliche Verein zu St. Petersburg). Первым директором общества с 21 января 1819 г. до 1842 г. был известный хирург профессор И. Ф. Буш. В 1842 г., когда его здоровье резко ухудшилось и он стал плохо видеть, то по его рекомендации председателем (директором) общества был избран доктор медицины и хирургии Е. И. Раух. Секретарем общества был избран К. К. Зейдлиц (1798—1885). Как раз в этом году в общество вступил Н. И. Пирогов, который стал самым активным его членом[14].
Лейб-медик Е. И. Раух был инициатором создания при содействии графини Ю. П. Строгановой в 1837 первого в России детского приюта на 16 человек при Демидовском заведении (наб. р. Мойки, 108, 1-й директор — И. Ф. Буш)[15]. Дети обоего пола 3-10 лет принимались бесплатно и в приюте находились с утра до 7-8 часов вечера. Старшие дети обучались Закону Божиему, чтению и счету, пению и рукоделию.
В 1857 году избран членом Комиссии, которой было поручено высказаться относительно прививок чумы рогатому скоту, сделанных в 1853 и в 1856 годах в Новороссии. По поручению Министерства Государственных Имуществ Е. И. Раух посетил чумопрививательные институты в Херсонской губернии и представил обстоятельный и детально разработанный доклад по этому вопросу. Дерптский Ветеринарный Институт отметил труды Рауха, избрав его, когда он справлял 50-летний юбилей своей деятельности, почетным членом Института. 17-го декабря того же года Раух был избран почетным членом Императорской С.-Петербургской Медико-Хирургической Академии.
Помимо медицинской деятельности Е. И. Раух активно занимался коммерцией. В 1836 году совместно с петербургским 1-й гильдии купцом Карлом Самуилом Нотбеком (Carl Samuel Nottbeck, 1779—1847) из Ревеля купил фабрику Финлейсона (англ.Fynlayson) в Таммерфорсе. С 1835 года по 1860 года численность рабочих увеличилось с 60 до 1578 человек, а выручка достигла 450 тысяч рублей серебром[17]. Семья Раухов была совладельцами фабрики вплоть до её национализации в 1945 г. Е. И. Раух также владел несколькими другими предприятиями в Финляндии.
В 1851 году Раух приобрел имение Заводовка в Херсонской губернии, управляющим которого был племянник жены Юстус Иоганн Конрад Риезенкампф. Впоследствии владельцем имение стал внук Е. И. Рауха генерал Г. О. Раух.
После смерти Рауха в 1864 г. академик Карл Максимович Бэр докладывал Физико-математическому отделению Академии наук о том, что доктор Егор Иванович Раух «завещал Библиотеке Академии коллекцию рисунков с изображением естественно-исторических предметов. Частично они принадлежат знаменитой Сибилле Мериан».
Труды Е. И. Рауха
«De initiis morborum, cum appendice sistente duas morborum chirurgicorum historias», Dorpat, 1811
«Ueber die Krankheiten des Gehörganges und des Trommelfells» — «Petersb. vermischte Abhandl. aus dem Gebiete der Heilkunde», 1821, I, 71—98
«Beobachtung einer Krankheit des rechten Eierstockes oder der Tuba Fallopii» — там же, II, 95—102
«Beobachtung einer Durchlöcherung des Magens am Pylorus» — там же, стр. 143—175 (1823 г.)
«Verlauf einer Scharlachkrankheit ohne bemerkbares Exanthem» — там же, III, 156—164 (1825 г.)
Будко А. А., Шабунин А. В.И.Ф. Буш и Немецкое врачебное общество // И. Ф. Буш и развитие медицины в XVIII - XIX веках. Материалы симпозиума/ Под ред. А. А. Вихмана. — 2002.