У этого термина существуют и другие значения, см. Функтор.
Функтор — особый тип отображений между категориями. Его можно понимать как отображение, сохраняющее структуру. Функторы между малыми категориями являются морфизмами в категории малых категорий. Совокупность всех категорий не является категорией в обычном смысле, так как совокупность её объектов не является классом. Один из способов преодолеть подобные теоретико-множественные трудности — добавление в ZFC независимой от неё аксиомы о существовании недостижимых кардиналов[англ.].
Термин «функтор» был позаимствован математиками из работ философа Рудольфа Карнапа[1], при этом у Карнапа слово «функтор» относилось к лингвистическому понятию[2].
(Ковариантный) функтор из категории в категорию — это отображение, которое:
сопоставляет каждому объекту объект
сопоставляет каждому морфизму в категории морфизм в категории . Это сопоставление должно обладать следующими свойствами:
,
.
Таким образом, функтор должен сохранять тождественные морфизмы и структуру композиции морфизмов.
Аналогичным образом, контравариантный функтор — это отображение, обращающее стрелки (то есть сопоставляющее морфизму морфизм ), сохраняющее тождественные морфизмы и удовлетворяющее равенству:
.
Также контравариантный функтор можно определить как ковариантный функтор из двойственной категории. Некоторые авторы предпочитают записывать все выражения ковариантно, и вместо слов «контравариантный функтор из в » говорят «функтор из в » (или, иногда, «функтор из в »).
Бифункторы и мультифункторы
Бифунктор — это функтор от двух аргументов. Естественный пример — функтор Hom, он ковариантен по одному аргументу и контравариантен по другому.
Формально бифункторы определяются как функторы из категории произведения. Например, функтор имеет вид .
Мультифунктор — это обобщение понятия бифунктора на переменных.
Примеры
Для задания функтора нужно определить действие его не только на объектах категории, но и (что более важно) на морфизмах: существуют различные функторы, действующие одинаково на объектах, например, тождественный функтор и антитождественный функтор, обращающий стрелки.
Пусть — подкатегория в категории . В таком случае определён функтор вложения, действующий на объектах и морфизмах как соответствующие вложения классов.
Постоянный функтор: функтор, отображающий каждый объект категории в фиксированный объект категории , а каждый морфизм — в тождественный морфизм этого объекта.
Эндофункторами называют любые функторы из категории в себя.
Двойственное векторное пространство: отображение, сопоставляющее каждому векторному пространствудвойственное к нему, а каждому линейному отображению — двойственное (или транспонированное) отображение, является контравариантным эндофунктором на категории векторных пространств.
Предпучки: пусть — топологическое пространство, тогда открытые подмножества образуют частично упорядоченное множество по отношению включения, обозначаемое . Как и любому частично упорядоченному множеству, можно сопоставить категорию, добавляя единственный морфизм тогда и только тогда, когда . Контравариантные функторы из называются предпучками. Например, существует функтор в категорию действительныхалгебр, сопоставляющий открытому множеству алгебру вещественнозначных непрерывных функций на нём.
Фундаментальная группа: каждому топологическому пространству с отмеченной точкой можно сопоставить фундаментальную группу, элементы которой — классы эквивалентности петель с точностью до гомотопии. Если — морфизм пространств с отмеченной точкой (непрерывное отображение, переводящее отмеченную точку первого пространства в отмеченную точку второго), каждой петле из точки можно сопоставить её образ, являющийся петлёй из точки . Это сопоставление согласуется с классами эквивалентности и с операцией композиции, следовательно, является гомоморфизмом из в . Нетрудно проверить, что выполняются и все остальные свойства ковариантного функтора из категории топологических пространств с отмеченной точкой в категорию групп.
Рассмотрение касательного пространства в фиксированной точке задаёт ковариантный функтор из категории гладких многообразий с отмеченной точкой и гладких отображений в категорию векторных пространств.
Тензорное произведение: если — категория векторных пространств над фиксированным полем, тензорное произведение двух пространств задаёт функтор , ковариантный по обоим аргументам[3].
Композиция двух функторов тоже является функтором. Композиция функторов является ассоциативной операцией (там, где она определена), поэтому функторы между малыми категориями удовлетворяют всем свойствам морфизмов в категории.
Категория из одного объекта — то же самое, что моноид: морфизмы в ней соответствуют элементам моноида, а операция композиции морфизмов — операции, определённой в моноиде. Функторы между категориями с одним объектом взаимно однозначно соответствуют гомоморфизмам моноидов; следовательно, в некотором смысле функтор является обобщением понятия гомоморфизма моноидов на «моноиды, в которых операция композиции определена не всюду».
Связь с другими категорными понятиями
Пусть и — категории. Множество всех морфизмов можно считать множеством объектов другой категории: категории функторов. Морфизмы в этой категории — естественные преобразования функторов.
Букур И., Деляну А. . Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972. — 259 с.
Маклейн С. .Глава 2. Конструкции в категориях // Категории для работающего математика. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4. — С. 43—67.
Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. . Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974. — 256 с.
Ссылки
Marquis, Jean-Pierre.Category Theory(англ.). Stanford Encyclopedia of Philosophy. — Включает в себя очень полный список литературы. Дата обращения: 30 июля 2013. Архивировано 13 августа 2013 года.