Algorithme de Borůvka

Algorithme de Borůvka

Animation représentant l'algorithme de Borůvka, dans la version sans contraction.

Découvreur ou inventeur	Otakar Borůvka
Date de publication	1926
Problèmes liés	Algorithme de la théorie des graphes (en), concept mathématique (en)

modifier - modifier le code - modifier Wikidata

L'algorithme de Borůvka, est un algorithme de recherche de l'arbre couvrant de poids minimal dans un graphe pondéré. Il est aussi appelé algorithme de Sollin^[1].

En théorie des graphes, étant donné un graphe non orienté connexe dont les arêtes sont pondérées, un arbre couvrant de poids minimal de ce graphe est un arbre couvrant (sous-ensemble qui est un arbre et qui connecte tous les sommets ensemble) dont la somme des poids des arêtes est minimale.

Le principe est de réduire G en contractant des arêtes : on choisit peu à peu les arêtes qui seront dans l'arbre, et à chaque fois que l'on en choisit une, on fusionne les nœuds que cette arête relie. Ainsi, il ne reste plus qu'un sommet à la fin.

On peut aussi décrire l'algorithme sans parler de contraction : on construit une forêt dont les arbres fusionnent peu à peu pour former un arbre couvrant de poids minimum.

On prend G le graphe et F l'ensemble des arêtes choisies (on le remplit peu à peu).

 1 F ← vide
 2 Tant que G n'est pas réduit à un sommet faire
 3    Détruire les boucles de G (*) 
 4    Remplacer les arêtes multiples entre deux sommets par une seule dont le poids est le minimum
 5    Pour tout x, sommet de G, faire
 6       Trouver l'arête e_x de poids minimum adjacente à x
 7       F ← F union e_x
 8       Contracter e_x (**)
 9    fin pour
10 fin tant que
11 renvoyer F

(*) i.e. les arêtes qui partent et arrivent au même sommet ; ce genre d'arête peut apparaitre après une itération.

(**) i.e. fusionner les sommets aux extrémités de ${\displaystyle e_{x}}$

L'algorithme de Borůvka a une complexité en ${\displaystyle O(A\ln(S))}$, où ${\displaystyle A}$ est le nombre d'arêtes et ${\displaystyle S}$ le nombre de sommets du graphe considéré^[2].

Il existe d'autres algorithmes pour le problème de l'arbre couvrant minimal, par exemple l'algorithme de Prim et l'algorithme de Kruskal.

L'algorithme de Borůvka est le premier algorithme de recherche d'arbre couvrant de poids minimal découvert publié par Otakar Borůvka en 1926 dans l'article O jistém problému minimálním ('Sur un certain problème minimal')^[3]. Au départ, il était destiné à rendre le réseau électrique de Moravie efficace. Il fut redécouvert à de nombreuses reprises par la suite^[4].

• (cs) Otakar Borůvka, « O jistém problému minimálním (About a certain minimal problem) », Práce mor. přírodověd. spol. v Brně III, vol. 3,‎ 1926, p. 37–58
• (en) R.L. Graham et Pavol Hell, « On the History of Minimum Spanning Tree Problem », Annals of the History of Computing, vol. 7, n^o 1,‎ janvier 1985, p. 43-57 (lire en ligne)

• « Algorithme de Boruvka », sur COATI chez INRIA

• Portail de l'informatique théorique