La suite de Piatetski-Shapiro d'ordre ${\displaystyle c}$, où ${\displaystyle c>0}$ est un nombre réel, est la suite d'entiers

${\displaystyle (\lfloor n^{c}\rfloor )_{n\geq 1}}$.

Un nombre de la forme ${\displaystyle \lfloor n^{c}\rfloor }$ est appelé un nombre de Piatetski-Shapiro par Joël Rivat dans sa thèse^[1].

Ilya Piatetski-Shapiro a étudié à plusieurs reprises, et pour la première fois en 1953^[2], le nombre de nombres premiers parmi les éléments d'une suite de Piatetski-Shapiro. On note ${\displaystyle \pi _{c}(x)}$ le nombre d'entiers ${\displaystyle n}$ inférieurs à ${\displaystyle x}$ tels que ${\displaystyle \lfloor n^{c}\rfloor }$ est premier, soit formellement

${\displaystyle \pi _{c}(x)={\text{Card}}\{n<x\mid \lfloor n^{c}\rfloor {\text{ est premier}}\}}$,

il est conjecturé^[1] que

${\displaystyle \pi _{c}(x)\sim {\frac {x}{c\ln x}}\qquad x\to \infty \ }$.

Piatetski-Shapiro a montré^[2] que cette équivalence était vraie pour ${\displaystyle 0<c<12/11}$, puis la majoration a été progressivement améliorée^[1] :

• 1972 : Kolesnik : ${\displaystyle 0<c<10/9=1,111...}$
• Graham et Leitmann, indépendamment (non publié): ${\displaystyle 0<c<69/62=1,112903...}$
• 1983 : Heath-Brown : ${\displaystyle 0<c<755/662=1,140483...}$
• 1985 : Kolesnik  : ${\displaystyle 0<c<39/34=1,14705....}$
• 1990 : Liu et Rivat (indépendamment)  : ${\displaystyle 0<c<15/13=1,15....}$
• 1992 : Rivat : ${\displaystyle 0<c<6121/5301=1,1544...}$
• 2001 : Rivat et Sargos : ${\displaystyle 0<c<2817/2426=1,16117...}$.
• 2001 : Rivat et Wu : ${\displaystyle 0<c<243/205=1,18536...}$.

La complexité d'un mot infini ${\displaystyle x}$ sur un alphabet fini est la fonction qui donne le nombre de facteur de chaque longueur dans ${\displaystyle x}$. La complexité arithmétique d'un mot infini ${\displaystyle x}$ selon la suite de Piatetski-Shapiro ${\displaystyle (\lfloor n^{c}\rfloor )}$ est la complexité du mot obtenu en ne conservant que les termes d'indice ${\displaystyle \lfloor n^{c}\rfloor }$.

Parmi les études dans ce cadre, il y a l'article de Deshouillers, Drmota, Müllner, Shubin et Spiegelhofer^[3] qui considère la complexité arithmétique d'un mot automatique synchronisant. Un cas particulier est la suite ${\displaystyle (\lfloor n^{c}\rfloor {\bmod {m}})}$ dont ils montrent que la complexité arithmétique est polynomiale.

• [2022] : Jean-Marc Deshouillers, Michael Drmota, Clemens Müllner, Andrei Shubin et Lukas Spiegelhofer, « Synchronizing automatic sequences along Piatetski-Shapiro sequences », Arxiv,‎ 2 novembre 2022 (DOI 10.48550/arXiv.2211.01422, lire en ligne)
• [2023] : Jakub Konieczny et Clemens Müllner, « Arithmetical subword complexity of automatic sequences », Arxiv,‎ 6 septembre 2023 (DOI 10.48550/arXiv.2309.03180, lire en ligne)

• [2023] : Victor Zhenyu Guo, Jinjiang Li et Min Zhang, « Piatetski-Shapiro primes in arithmetic progressions », The Ramanujan Journal, vol. 60, n^o 3,‎ 1^er mars 2023, p. 677–692 (DOI 10.1007/s11139-022-00636-7, lire en ligne, consulté le 30 janvier 2024)
• [1983] : David Rodney Heath-Brown, « The Pjateckiĭ-S̆apiro prime number theorem », Journal of Number Theory, vol. 16, n^o 2,‎ 1^er avril 1983, p. 242–266 (DOI 10.1016/0022-314X(83)90044-6, lire en ligne)
• [2001] : Joël Rivat et Patrick Sargos, « Nombres premiers de la forme ${\displaystyle [n^{c}]}$ », Canadian Journal of Mathematics, vol. 53, n^o 2,‎ avril 2001, p. 414–433 (DOI 10.4153/CJM-2001-017-0, lire en ligne)
• [2001] : Joël Rivat et Jie Wu, « Prime numbers of the form ${\displaystyle [n^{c}]}$ », Glasgow Mathematical Journal, vol. 43, n^o 2,‎ mai 2001, p. 237–254 (DOI 10.1017/S0017089501020080, lire en ligne)
• Joël Rivat et András Sárközy, « A Sequence Analog of the Piatetski-Shapiro Problem », Acta Mathematica Hungarica, vol. 74, n^o 3,‎ 1997, p. 245–260 (DOI 10.1023/A:1006516018759)

• Jean-Marc Deshouillers, « Répartition des nombres premiers de la forme ${\displaystyle [n^{c}]}$ », Mémoires de la Société mathématique de France, n^o 37,‎ 1974, p. 49–52 (DOI 10.24033/msmf.125, lire en ligne)

• Victor Zhenyu Guo et Jinyun Qi, « A Generalization of Piatetski–Shapiro Sequences », Taiwanese Journal of Mathematics, vol. 26, n^o 1,‎ 20 janvier 2022 (DOI 10.11650/tjm/210802, lire en ligne)

• (ru) Ilya Piatetski-Shapiro, « Sur la répartition des nombres premiers de la forme ${\displaystyle [f(n)]}$ », Matematicheskiĭ Sbornik, vol. 33,‎ 1953, p. 559-566 (lire en ligne, consulté le 27 janvier 2024).

• Christian Mauduit et Joël Rivat, « Répartition des fonctions q-multiplicatives dans la suite ${\displaystyle ([n^{c}])_{n\in \mathbb {N} },c>1}$ », Acta Arithmetica, vol. 71, n^o 2,‎ 1995, p. 171–179 (ISSN 0065-1036, lire en ligne)

• Joel Rivat, Autour d'un théorème de Piatetski-Shapiro (Nombres premiers dans la suite ${\displaystyle [n^{c}]}$) (thèse de doctorat), 13 février 1992 (lire en ligne)

• Roger C. Baker, William D. Banks, Jörg Brüdern et Igor E. Shparlinski, « Piatetski-Shapiro sequences », Acta Arithmetica, vol. 157, n^o 1,‎ 2013, p. 37–68 (DOI 10.4064/aa157-1-3, arXiv 1203.5884v1, lire en ligne, consulté le 27 janvier 2024)

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