Trident d'équation y = x²+1/x Le trident de Newton est une courbe plane étudiée par Isaac Newton . On la nomme parfois parabole de Descartes (bien que ce ne soit pas une parabole ).
Classification des cubiques
Dans une étude menée en 1676 mais publiée en 1704, Newton cherche à classifier toutes les courbes cubiques , c’est-à-dire les courbes planes dont l'équation est de la forme :
a
x
3
+
b
x
2
y
+
c
x
y
2
+
d
y
3
+
e
x
2
+
f
x
y
+
g
y
2
+
h
x
+
i
y
+
j
=
0
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}y+cxy^{2}+dy^{3}+ex^{2}+fxy+gy^{2}+hx+iy+j=0\,}
Il en dénombre 72 types que l'on peut ranger dans quatre classes par des changements de repère appropriés :
les courbes d'équation
x
y
2
+
e
y
=
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
{\displaystyle xy^{2}+ey=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}
les courbes d'équation
x
y
=
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
{\displaystyle xy=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}
les courbes d'équation
y
2
=
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
{\displaystyle y^{2}=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}
les courbes d'équation
y
=
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
{\displaystyle y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}
Les tridents de Newton sont les courbes de type (2)
Les tridents de Newton ont pour équation cartésienne canonique :
x
y
=
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
{\displaystyle xy=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,}
où a et d sont non nuls.
Analyse
Les tridents de Newton ne sont pas définis en 0. Leur domaine de définition est donc :
D
f
=
R
∗
{\displaystyle D_{f}=\mathbb {R} ^{*}}
Ce sont des fonctions rationnelles. Elles sont donc dérivables sur
D
f
{\displaystyle D_{f}}
f
′
(
x
)
=
2
a
x
+
b
−
d
x
2
{\displaystyle f^{'}(x)=2ax+b-{\frac {d}{x^{2}}}}
Limites
En l'infini , les tridents de Newton tendent ou bien vers
+
∞
{\displaystyle +\infty }
−
∞
{\displaystyle -\infty }
Si a>0 alors
lim
x
→
±
∞
f
(
x
)
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }f(x)=+\infty }
Si a<0 alors
lim
x
→
±
∞
f
(
x
)
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }f(x)=-\infty }
Limites en 0
En 0, les tridents de Newton tendent vers
+
∞
{\displaystyle +\infty }
−
∞
{\displaystyle -\infty }
Si d>0 alors
lim
x
→
0
+
f
(
x
)
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}f(x)=+\infty }
lim
x
→
0
−
f
(
x
)
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}f(x)=-\infty }
Si d<0 alors
lim
x
→
0
+
f
(
x
)
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}f(x)=-\infty }
lim
x
→
0
−
f
(
x
)
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}f(x)=+\infty }
Asymptotes
Ils ont pour asymptotes la parabole d'équation
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
ainsi que l'hyperbole d'équation
y
=
d
x
{\displaystyle y={\frac {d}{x}}}
On dénombre entre un et trois points d'intersection entre un trident de Newton et l'axe des abscisses selon la valeur des coefficients a, b, c, d .
Lien avec le folium de Descartes
Le changement de variable
x
=
X
Y
{\displaystyle x={\frac {X}{Y}}}
y
=
1
Y
{\displaystyle y={\frac {1}{Y}}}
Conduit à une équation de la forme :
X
Y
=
a
X
3
+
b
X
2
Y
+
c
X
Y
2
+
d
Y
3
{\displaystyle XY=aX^{3}+bX^{2}Y+cXY^{2}+dY^{3}\,}
En particulier, la courbe d'équation
y
=
x
2
+
1
x
{\displaystyle y=x^{2}+{\frac {1}{x}}}
folium de Descartes
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