常微分方程式

常微分方程式（じょうびぶんほうていしき、英: ordinary differential equation, O.D.E.）とは、微分方程式の一種で、未知関数が本質的にただ一つの変数を持つものである場合をいう。すなわち、変数 t の未知関数 x(t) に対して、（既知の）関数 F を用いて

${\displaystyle F(t,x(t),x^{(1)}(t),\dots ,x^{(n)}(t))=0\quad \left(x^{(k)}(t):={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}x(t),\,\mathrm {for} ~\,k=0,1,\dots ,n\right)}$

という形にできるような関数方程式を常微分方程式と呼ぶ。x^(k)(t) は未知関数 x(t) の k 階の導関数である。未知関数が単独でない場合には、関数の組をベクトルの記法を用いて表せば次のようになる。

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t))={\boldsymbol {0}}\quad \left({\boldsymbol {x}}^{(k)}(t):={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}{\boldsymbol {x}}(t),\,\mathrm {for} ~\,k=0,1,\dots ,n\right).}$

ここで F, x は

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {F}}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t))=\left(F_{1}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t)),\dots ,F_{r}(t,{\boldsymbol {x}}(t),{\boldsymbol {x}}^{(1)}(t),\dots ,{\boldsymbol {x}}^{(n)}(t))\right),\\&{\boldsymbol {x}}(t)=\left(x_{1}(t),\dots ,x_{m}(t)\right)\end{aligned}}}$

を表す。この方程式系はしばしば連立常微分方程式と呼ばれる。

また、多くの n 階常微分方程式は次のような形に書くことができる。

${\displaystyle x^{(n)}(t)=f(t,x(t),x^{(1)}(t),\dots ,x^{(n-1)}(t))\quad \left(x^{(k)}(t):={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}x(t),\,\mathrm {for} ~\,k=0,1,\dots ,n\right).}$

常微分方程式の理論およびその研究を微分方程式論という。あるいはまた関数方程式論の名で微分方程式論を指すこともある。

常微分方程式が

${\displaystyle {\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}+a_{n-1}(t){\frac {d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}+\cdots +a_{0}(t)x=b(t)}$

の形に表されるとき線型であるという。ただし、a_k(t) および b(t) はt を変数とする既知の関数である。b(t) = 0 の方程式は特に斉次 (homogeneous) な方程式と呼ばれ、そうでない方程式は非斉次 (inhomogeneous) な方程式と呼ばれる。

線型でない常微分方程式は非線型であると言われる。非線型方程式の解は一般に、線型方程式のそれに比べて複雑な様相を呈する。そのような例として、ローレンツ方程式やパンルヴェ方程式などがある。一方、求積法で解ける形の非線型方程式も数多く知られている^[1][2][3]。 以下に例を挙げておく ^[1][3][4]。

${\displaystyle y=x{\frac {\;dy\;}{dx}}+x^{n}f{\Bigl (}{\frac {\;dy\;}{dx}}{\Bigr )}.}$

${\displaystyle y=x{\frac {\;dy\;}{dx}}+y^{n}f{\Bigl (}{\frac {\;dy\;}{dx}}{\Bigr )}.}$

ここに、n は実数であり、f(·) は既知関数である。

${\displaystyle {\frac {{d}y}{{d}x}}={\frac {\,y^{1-m}\,}{x^{1-n}}}f\!\left({\frac {\,y^{m}}{x^{n}}}\right).}$　 m, n は実数，ただし，m ≠ 0，f は既知関数。

${\displaystyle {\frac {{d}y}{{d}x}}={\frac {\,{d}A(x)\,}{{d}x}}F\!\left({\frac {y}{A(x)}}\right).}$　 A(x)，F は既知関数。

${\displaystyle {\frac {{d}y}{{d}x}}=B(x)F(y+A(x))-{\frac {\,{d}A(x)\,}{{d}x}}.}$　 A(x )，B(x )，F は，いずれも既知関数。

${\displaystyle y=x{\frac {\,dy\,}{dx}}+P(x)\!\left({\frac {\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}}\right)^{\!\!n}.}$

${\displaystyle y=x{\frac {\,dy\,}{dx}}+f\!\!\,\left({\frac {\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}}\right).}$

上記の P(x) と f(·) は既知関数とする。

${\displaystyle y=x{\frac {\,dy\,}{dx}}+f\!\,{\Bigl (}x^{n}{\frac {\,d^{\,2}y\,}{dx^{2}}}{\Bigr )}.}$　 n は実数，ただし，n ≠ 2，f は既知関数。

${\displaystyle x{\frac {{d}^{\,2}y}{{d}x^{2}}}+(1+f(y)){\frac {{d}y}{{d}x}}=0.}$　 f(y) は既知関数。

${\displaystyle x{\frac {{d}^{\,2}y}{{d}x^{2}}}+(\alpha +\gamma {}y^{n}){\frac {{d}y}{{d}x}}=0.}$　　α, γ, n は実数．ただし，n ≠ −1。

${\displaystyle {\frac {{d}^{\,2}y}{{d}x^{2}}}=f\!\left({\frac {\alpha +\beta {x}+\gamma {y}}{k+\ell {x}+m{y}}}\right).}$　　f (·) は既知関数。${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,k,\ell ,m}$ は実数．ただし，${\displaystyle \gamma \ell -\beta {m}=0}$。

連立常微分方程式（simultaneous ordinary differential equations）は、 1 つの独立変数 t と複数の未知関数 x₁(t),..., x_n(t) およびその導関数により構成される複数の方程式の組である。例えば、比較的簡単な例として、t の 2 つの未知関数を x₁(t), x₂(t) とする。それらの一階の導関数を x'₁(t), x'₂(t) として、

${\displaystyle F\left(t,x_{1},x_{2},x'_{1}(t),x'_{2}(t)\right)=0,}$

${\displaystyle G\left(t,x_{1},x_{2},x'_{1}(t),x'_{2}(t)\right)=0}$

は一つの連立常微分方程式である。ただし、F, G は既知関数である。

一般の連立常微分方程式は、1 つの独立変数と m 個の未知関数およびその n 階の導関数を含み、複数個の常微分方程式の組になる。

${\displaystyle F_{k}\left(t;x_{1},\dots ,x_{m};x_{1}^{(1)},\dots ,x_{m}^{(1)};\dots ;x_{1}^{(n)},\dots ,x_{m}^{(n)}\right)=0,\qquad k=1,2,\dots ,r.}$

ここで x_i^(j)(t) は、未知関数 x_i(t) の j 階の導関数である (i = 0, 1,..., m; j = 0, 1,..., n)。 なお、連立常微分方程式を常微分方程式系（system of ordinary differential equations）と呼ぶこともある。 これら r 個の常微分方程式すべてを満足する関数の組 x₁(t),..., x_m(t) をその解という。

具体的な例を一つ示す。独立変数 x の未知関数を y, z とし、a, b, c, d を定数とすると、

${\displaystyle {\frac {\,dy\,}{dx}}=az+b,}$

${\displaystyle {\frac {dz}{\,dx\,}}=cy+d}$

は、一階の連立常微分方程式の例である。一般的な連立常微分方程式は、求積法で解くのは困難であるが、一般性を含む連立常微分方程式の例として、求積法で解ける連立常微分方程式が多少知られている^[1][2][3]。 一例を挙げておく^[3][5]。

${\displaystyle {\begin{cases}\;\,\displaystyle F\!\left(y,\;\;{\frac {\,dz\,}{dx}}\right)=0,\\[3ex]\;\,\displaystyle G\!\left(z,\;\;{\frac {\,dw\,}{dx}}\right)=0,\\[3ex]\;\,\displaystyle H\!\left(w,\;\;{\frac {\,dy\,}{dx}}\cdot \left({\frac {\,dw\,}{dx}}\right)^{\!\!-1}\;\right)=0.\end{cases}}}$

x は独立変数であり、y, z, w は x を変数とする未知関数である。また、F, G, H を既知関数とする^[5]。

• 藤原松三郎.(1930), 常微分方程式論.岩波書店．
  • 『常微分方程式論』(1930)藤原松三郎著の現代仮名遣い版
• 吉江琢児.(1947), 微分方程式論. 共立出版.
• フォーサイス 著,粟野保, 末岡清市, 石津武彦 共訳. (1947), 微分方程式 上巻. 朝倉書店.
• 坂井秀隆. (2015). 常微分方程式. 東京大学出版会.
• 大谷光春. (2011). 常微分方程式論. サイエンス社.
• 福原満洲雄「常微分方程式 第2版」岩波全書. 岩波書店.
• 常微分方程式, 朝倉書店, 高野恭一.
• 常微分方程式と解析力学, 木村俊房・飯高茂・西川青季・岡本和夫・楠岡成雄 (編集) 伊藤秀一著, 共立講座 21世紀の数学 第11巻ISBN 978-4-320-01563-0, 1998年01月, 共立出版.
• ウイルス感染と常微分方程式, 岩見真吾, 佐藤佳, 竹内康博 著（シリーズ: 現象を解明する数学 / 三村昌泰, 竹内康博, 森田善久 編集）共立出版, 2017.4
• 常微分方程式 新版, レフ・セミョーノヴィチ・ポントリャーギン/千葉克裕 共立出版 1981年02月
• J.J.グレイ：「リーマンからポアンカレにいたる 線型微分方程式と群論」、シュプリンガ－フェアラーク東京、ISBN 4-431-70938-X（2002年12月10日）
• 常微分方程式の局所漸近解析, 柴田正和 森北出版 2010年08月
• コーエン、高野一夫（訳）：「コーエンの微分方程式：リー群論の応用」（POD版）、森北出版、ISBN 4-62707079-9 (2011年).

• Hartman, Philip (2002) [1964], Ordinary differential equations, Classics in Applied Mathematics, 38, Philadelphia: en:Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-510-1, MR 1929104
• Ince, Edward L. (1944) [1926], Ordinary Differential Equations, en:Dover Publications, New York, ISBN 978-0-486-60349-0, MR 0010757
• Witold Hurewicz, Lectures on Ordinary Differential Equations, en:Dover Publications, ISBN 0-486-49510-8
• Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Polyanin, A. D. and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition)", Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
• Grimshaw, R. (2017). Nonlinear ordinary differential equations. Routledge.
• Arnolʹd, V. I., Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations. en:Springer Science & Business Media.
• Arnolʹd, V. I., Ordinary differential equations. Springer.
• Wolfgang Walter, Ordinary differential equations. Springer.
• Logemann, H., & Ryan, E. P. (2014). Ordinary differential equations: Analysis, qualitative theory and control. Springer.
• Hermann, M., & Saravi, M. (2014). A First Course in Ordinary Differential Equations. Analytical and Numerical Methods, Springer India.
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• Jeremy J. Gray: Linear Differential Equations and Group Theory from Riemann to Poincaré (2nd Ed.), Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4773-5 (2008).

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