Укич родился и вырос в Сплите, с 1992 года занимался в академии местного БК «Сплит», в составе которого дебютировал на профессиональном уровне в сезоне 2000/2001, когда ему было 16 лет. До этого, играя за молодёжный состав «Сплита», дважды выигрывал чемпионат страны, а в 2000 году был признан его самым ценным игроком. После попадания в основной состав клуба Укич привлекался в молодёжную сборную Хорватии, с которой выиграл чемпионат Европы в 2002 году и дошёл до полуфинала чемпионата мира в 2003 году. На клубном уровне он в 2003 году становился чемпионом, а в 2004 году обладателем Кубка Хорватии. В своём последнем сезоне выступлений за «Сплит» Укич набирал в среднем за игру 18,5 очков и делал 4,3 передачи[1]. На драфте НБА 2005 года он был выбран командой «Торонто Рэпторс» под общим 41-м номером.
После выбора на драфте Укич продолжил карьеру в Европе, в составе испанского клуба «ТАУ Керамика», а через год перешёл в «Барселону». В обоих клубах хорват был резервистом, в среднем проводя на площадке 15-16 минут и набирая около 6 очков за игру. В Испании Укич дважды выиграл национальный кубок. В 2007 году он перешёл в римский «Виртус», который тренировал его наставник и тренер сборной Хорватии, Ясмин Репеша. В Италии Укич получил больше игрового времени — 26,5 минут за игру и набирал в среднем 11,5 очков.
16 июля 2008 Укич подписал контракт на три года с «Торонто Рэпторс»[2]. Он стал дублёром испанца Хосе Кальдерона, с которым раньше играл в «ТАУ Керамике». В дебютном сезоне в НБА Укич сыграл 72 игр, в среднем набирая 4,2 очка и делая 2,1 передачи. 22 февраля 2009 года в матче против «Сан-Антонио Спёрс» он установил личный рекорд результативности, набрав 22 очка.
В 2012 году подписал двухлетний контракт с греческим «Панатинаикосом»[6].
В августе 2014 года Укич вернулся в чемпионат Хорватии, заключив контракт на один год с клубом «Цедевита»[7].
В октябре 2015 года Укич перешёл в итальянский клуб «Варезе». С командой он заключил краткосрочный контракт, рассчитанный до 23 декабря того же года. После истечения контракта стороны не смогли договориться о новом соглашении, хотя представители клуба заявляли о своём желании сохранить Укича до конца сезона[8][9]. 10 января 2016 года Укич заключил контракт с другим итальянским клубом, «Канту»[10].
Укич завершил карьеру в «Сплите» в 2023 году. После этого начал работать баскетбольным комментатором в Хорватии.
.svg){kind=small}
