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En théorie des nombres, la conjecture de Szpiro met en relation le conducteur (en) et le discriminant d'une courbe elliptique. Sous une forme légèrement modifiée, elle est équivalente à la conjecture abc bien connue. Elle porte le nom de Lucien Szpiro qui l'a formulée dans les années 1980.

La conjecture stipule que: étant donné ε > 0, il existe une constante C ( ε ) telle que pour toute courbe elliptique E définie sur Q avec un discriminant minimal Δ et un conducteur f, nous avons

${\displaystyle \vert \Delta \vert \leq C(\varepsilon )\cdot f^{6+\varepsilon }.}$

La conjecture de Szpiro modifiée déclare que: étant donné ε > 0, il existe une constante C ( ε ) telle que pour toute courbe elliptique E définie sur Q avec pour invariants c₄, c₆ et pour conducteur f (en utilisant la notation de l'algorithme de Tate (en)), nous avons

${\displaystyle \max\{\vert c_{4}\vert ^{3},\vert c_{6}\vert ^{2}\}\leq C(\varepsilon )\cdot f^{6+\varepsilon }.}$

En août 2012, Shinichi Mochizuki revendique une preuve de la conjecture de Szpiro en développant une nouvelle théorie appelée théorie de Teichmüller inter-universelle (en) (IUTT)^[1]. Cependant, les articles n'ont pas été acceptés par la communauté mathématique comme fournissant une preuve de la conjecture^[2],[3],[4], avec Peter Scholze et Jakob Stix concluant en mars 2018 que l'écart était « si grave que ... de petites modifications ne sauvera pas la stratégie de preuve »^[5],[6],[7].

• (en) S. Lang, Survey of Diophantine geometry, Berlin, Springer-Verlag, 1997 (ISBN 3-540-61223-8, zbMATH 0869.11051), p. 51.
• (en) L. Szpiro, « Seminaire sur les pinceaux des courbes de genre au moins deux », Astérisque, vol. 86, n^o 3,‎ 1981, p. 44–78 (zbMATH 0463.00009).
• (en) L. Szpiro, « Présentation de la théorie d'Arakelov », Contemp. Math., vol. 67,‎ 1987, p. 279–293 (DOI 10.1090/conm/067/902599, zbMATH 0634.14012).

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