Этот пляжный мяч[англ.] показывает осоэдр с шестью серповидными гранями, если удалить два белых круга на концах.
n-угольныйосоэдр — мозаика из двуугольников на сферической поверхности, где каждый такой двуугольник имеет две общие вершины (противоположные точки сферы) с другими двуугольниками.
Для правильных многогранников, символ Шлефли которых равен {m, n}, число многоугольных граней можно найти по формуле:
Правильные многогранники, известные с античных времён, являются единственными многогранниками, дающими в результате деления целое число для m ≥ 3 и n ≥ 3. Ограничение m ≥ 3 приводит к тому, что многоугольные грани должны иметь по меньшей мере три стороны.
Если рассматривать многогранники как сферическую мозаику, это ограничение может быть ослаблено, поскольку двуугольники можно рассматривать как сферические двуугольные фигуры, имеющие ненулевую площадь. Допущение m = 2 порождает новый бесконечный класс правильных многогранников, то есть осоэдров.
Правильный треугольный осоэдр, {2,3}, представленный в виде мозаики из трёх двуугольников на сфере.
Правильный четырёхугольный осоэдр, представленный в виде мозаики из четырёх двуугольников на сфере.
Двуугольные грани 2n-осоэдра , {2,2n}, представляют фундаментальные области диэдральной симметрии[англ.]: Cnv, [n], (*nn), порядок 2n. Области зеркального отражения можно показать, используя поочерёдную раскраску двуугольников. Рассечения двуугольников на два сферических треугольника создают бипирамиды и определяют диэдрическую симметрию Dnh, порядок 4n.
Симметрия
C1v
C2v
C3v
C4v
C5v
C6v
Осоэдр
{2,2}
{2,4}
{2,6}
{2,8}
{2,10}
{2,12}
Фундаментальные области
Связь с телами Штейнмеца
Четырёхугольный осоэдр топологически эквивалентен бицилиндру, пересечению двух цилиндров под прямым углом[3].
Производные многогранники
Двойственным многогранником n-угольного осоэдра {2, n} является n-угольный диэдр, {n, 2}. Многогранник {2,2} самодвойственен и является осоэдром и диэдром одновременно.
Осоэдр можно модифицировать тем же способом, что и другие многогранники, порождая усечённые[англ.] варианты. Усечённый n-угольный осоэдр — это n-угольная призма.
Бесконечноугольный осоэдр
В пределе осоэдр становится бесконечноугольным и представляет собой двумерное замощение:
Осотопы
Многомерные аналоги, в общем случае, называются осотопами. Правильный осототоп с символом Шлефли{2,p,…,q} имеет две вершины и в обеих вершинах вершинной фигурой служит {p,…,q}.
Термин «осоэдр» (hosohedron) предложен Г. С. М. Коксетером и, возможно, происходит от др.-греч.ὅσος (осос) «сколь угодно», что указывает на возможность осоэдра иметь «сколь угодно много граней»[4].
