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En mathématiques, le critère de convergence de Finez est un résultat élémentaire de suites et sous-suites convergentes.

Soient :

• ${\displaystyle (u_{n})}$ une suite réelle bornée,
• ${\displaystyle \alpha }$ un réel de valeur absolue strictement inférieure à ${\displaystyle 1}$
• ${\displaystyle \varphi :\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$ une fonction extractrice.

Si ${\displaystyle u_{n}+\alpha u_{\varphi (n)}}$ converge vers une limite finie ${\displaystyle l}$, alors ${\displaystyle (u_{n})}$ converge, et sa limite est ${\displaystyle {\frac {l}{1+\alpha }}}$

Ce résultat se généralise pour une suite bornée à valeurs complexes avec ${\displaystyle \alpha }$ de module inférieur strict à ${\displaystyle 1}$.

Posons ${\displaystyle v_{n}=u_{n}+\alpha u_{\varphi (n)}}$, qui converge donc vers ${\displaystyle l}$ par hypothèse.

Soit ${\displaystyle a}$ une valeur d'adhérence de ${\displaystyle (u_{n})}$ et notons ${\displaystyle \psi }$ une extractrice associée. Alors, pour tout entier ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle u_{\varphi (\psi (n))}={\frac {v_{\psi (n)}-u_{\psi (n)}}{\alpha }}}$. Or ${\displaystyle (u_{\psi (n)})}$ converge vers ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle v_{\psi (n)}}$ converge vers ${\displaystyle l}$. Donc par opérations usuelles sur les limites, ${\displaystyle u_{\varphi (\psi (n))}}$ converge vers ${\displaystyle {\frac {l-a}{\alpha }}}$.

Ainsi, on peut montrer par récurrence que la suite ${\displaystyle (a_{n})}$ définie par : ${\displaystyle a_{0}=a}$ et ${\displaystyle a_{n+1}={\frac {l-a_{n}}{\alpha }}}$ ne contient que des valeurs d'adhérences de ${\displaystyle (u_{n})}$.

Si ${\displaystyle a\neq {\frac {l}{\alpha +1}}}$, la suite ${\displaystyle (a_{n})}$ n'est pas bornée. Or ${\displaystyle (u_{n})}$ est bornée, donc il en est de même pour ses valeurs d’adhérence. Ceci permet de conclure que ${\displaystyle a={\frac {l}{\alpha +1}}}$.

Ainsi, ${\displaystyle (u_{n})}$ n'admet qu'une seule valeur d'adhérence et elle est bornée, donc elle converge vers cette valeur d'adhérence (on peut montrer grâce au théorème de Bolzano-Weierstrass que si une suite est bornée et ne converge pas, elle admet au moins deux valeurs d'adhérences).

Ainsi ${\displaystyle (u_{n})}$ converge vers ${\displaystyle {\frac {l}{\alpha +1}}}$.

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