En mathématiques, et plus précisément en théorie des formes automorphes, le lemme fondamental relie les intégrales orbitales d'un groupe réductif sur un corps local aux intégrales orbitales stables de ses groupes endoscopiques. Ce lemme a été conjecturé par Robert Langlands en 1983, lors de l'élaboration du programme de Langlands. Le lemme fondamental a été prouvé par Gérard Laumon et Ngô Bảo Châu dans le cas des groupes unitaires puis par Ngô (en 2010) pour tout groupe réductif, en s'appuyant sur une série de réductions importantes apportées par Jean-Loup Waldspurger au cas des algèbres de Lie. Le magazine Time a placé la démonstration de Ngô dans la liste du « Top 10 des découvertes scientifiques de 2009 »^[1] et lui a valu la médaille Fields en 2010.

Langlands a décrit une stratégie pour prouver les conjectures de Langlands locales et globales en utilisant la formule des traces d'Arthur-Selberg (en), mais pour que cette approche fonctionne, le côté géométriques de la formule de trace pour différents groupes doivent être liés d'une manière particulière^[pas clair]. Cette relation prend la forme d'identités entre intégrales orbitales sur les groupes réductifs G et H sur un corps local non archimédien F, où le groupe H, appelé groupe endoscopique de G, est construit à partir de G et de quelques données supplémentaires.

Le premier cas considéré fut ${\displaystyle G={\rm {SL}}_{2}}$ (Labesse et Langlands 1979). Langlands et Diana Shelstad ont ensuite développé le cadre général de la théorie du transfert endoscopique et formulé des conjectures spécifiques. Cependant, au cours des deux décennies suivantes, seuls des progrès partiels ont été réalisés dans la preuve du lemme fondamental^[2],[3]. Harris l'a qualifié de « goulot d'étranglement limitant les progrès sur une multitude de questions arithmétiques ». Langlands lui-même, écrivant sur les origines de l'endoscopie, écrit :

« [...] ce n'est pas le lemme fondamental en tant que tel qui est critique pour la théorie analytique des formes automorphes et pour l'arithmétique des variétés de Shimura ; c'est la formule des traces stable, la réduction de la formule des traces à la formule des traces stable pour un groupe et ses groupes endoscopiques, et la stabilisation de la formule de Grothendieck-Lefschetz (en). Aucun de ces travaux n'est possible sans le lemme fondamental et son absence a rendu les progrès presque impossibles pendant plus de vingt ans^[4]. »

Le lemme fondamental stipule qu'une intégrale orbitale O pour un groupe G est égale à une intégrale orbitale stable SO pour un groupe endoscopique H, à un facteur de transfert Δ près (Nadler 2012) :

${\displaystyle SO_{\gamma _{H}}(1_{K_{H}})=\Delta (\gamma _{H},\gamma _{G})O_{\gamma _{G}}^{\kappa }(1_{K_{G}})}$

où

• F est un corps local,
• G est un groupe non ramifié défini sur F, autrement dit un groupe réductif quasi-scindé défini sur F qui se scinde sur une extension non ramifiée de F,
• H est un groupe endoscopique non ramifié de G associé à κ,
• K _G et K _H sont des sous-groupes compacts maximaux hyperspéciaux de G et H, ce qui signifie que ce sont des sous-groupes de points à coefficients dans l'anneau des entiers de F,
• 1_KG et 1_KH sont les fonctions caractéristiques de K_G et K_H,
• Δ(γ_H,γ_G) est un facteur de transfert, une certaine expression élémentaire dépendant de γ_H et γ_G,
• γ_H et γ_G sont des éléments de G et H représentant des classes de conjugaison stables, telles que la classe de conjugaison stable de G est le transfert de la classe de conjugaison stable de H,
• κ est un caractère du groupe des classes de conjugaison dans la classe de conjugaison stable de γ_G.

Shelstad 1982 démontre le lemme fondamental pour les corps archimédiens.

Kottwitz 1992 et Blasius et Rogawski 1992 ont vérifié quelques cas du lemme fondamental pour des groupes unitaires de dimension 3.

Hales 1997 et Weissauer 2009 ont vérifié le lemme fondamental pour les groupes Sp₄, GSp₄.

Un article de George Lusztig et David Kazhdan souligne que les intégrales orbitales pouvaient être interprétées comme un comptage de points sur certaines variétés algébriques sur des corps finis. De plus, les intégrales en question peuvent être calculées d'une manière qui dépend uniquement du corps résiduel de F ; et le problème peut être réduit à la version algèbre de Lie des intégrales orbitales. Le problème a ensuite été reformulé en termes de fibre de Springer de groupes algébriques. Laumon et Ngo 2008 ont prouvé le lemme fondamental pour les groupes unitaires, en utilisant la fibration de Hitchin introduite par Ngô 2006, qui est un analogue géométrique abstrait du système de Hitchin en géométrie algébrique complexe. Waldspurger 2006 a montré (pour les algèbres de Lie) que le cas du corps de fonctions implique le lemme fondamental sur tout corps local, et Waldspurger 2008 a montré que le lemme fondamental pour les algèbres de Lie implique le lemme fondamental pour les groupes.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Fundamental lemma (Langlands program) » (voir la liste des auteurs).

• (en) Don Blasius et Jonathan D. Rogawski, « Fundamental lemmas for U(3) and related groups », dans Robert P. Langlands et Dinakar Ramakrishnan, The zeta functions of Picard modular surfaces, Montréal, Université de Montréal, 1992, 363-394 p. (ISBN 978-2-921120-08-1, MR 1155234)
• (en) William Casselman, Langlands' Fundamental Lemma for SL(2), 2009 (lire en ligne)
• Jean-François Dat, « Lemme fondamental et endoscopie, une approche géométrique, d'après Gérard Laumon et Ngô Bao Châu », Séminaire Bourbaki, Société mathématique de France, n^o 940,‎ novembre 2004 (lire en ligne)
• (en) Thomas C. Hales, « The fundamental lemma for Sp(4) », Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 125, n^o 1,‎ 1997, p. 301-308 (ISSN 0002-9939, DOI 10.1090/S0002-9939-97-03546-6 , MR 1346977)
• Michael Harris, Stabilisation de la formule des traces, variétés de Shimura, et applications arithmétiques (lire en ligne [archive du 20 avril 2012])
• (en) David Kazhdan et George Lusztig, « Fixed point varieties on affine flag manifolds », Israel Journal of Mathematics, vol. 62, n^o 2,‎ 1988, p. 129-168 (ISSN 0021-2172, DOI 10.1007/BF02787119 , MR 947819)
• (en) Robert E. Kottwitz, « Calculation of some orbital integrals », dans Robert P. Langlands et Dinakar Ramakrishnan, The zeta functions of Picard modular surfaces, Montréal, Université de Montréal, 1992, 349-362 p. (ISBN 978-2-921120-08-1, MR 1155233)
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• Robert P. Langlands, Les débuts d'une formule des traces stable, vol. 13, Paris, Université de Paris VII U.E.R. de Mathématiques, coll. « Publications Mathématiques de l'Université Paris VII », 1983 (MR 697567, lire en ligne)
• (en) Robert P. Langlands et Diana Shelstad, « On the definition of transfer factors », Mathematische Annalen, vol. 278, n^o 1,‎ 1987, p. 219-271 (ISSN 0025-5831, DOI 10.1007/BF01458070, MR 909227, S2CID 14141632)
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• Gérard Laumon et Bao Châu Ngô, « Le lemme fondamental pour les groupes unitaires », Annals of Mathematics, 2^e série, vol. 168, n^o 2,‎ 2008, p. 477-573 (ISSN 0003-486X, DOI 10.4007/annals.2008.168.477, MR 2434884, arXiv math/0404454, S2CID 119606388)
• (en) David Nadler, « The geometric nature of the fundamental lemma », Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 49,‎ 2012, p. 1-50 (ISSN 0002-9904, DOI 10.1090/S0273-0979-2011-01342-8, arXiv 1009.1862, S2CID 30785271)
• Bao Châu Ngô, « Fibration de Hitchin et endoscopie », Inventiones Mathematicae, vol. 164, n^o 2,‎ 2006, p. 399-453 (ISSN 0020-9910, DOI 10.1007/s00222-005-0483-7, Bibcode 2006InMat.164..399N, MR 2218781, arXiv math/0406599, S2CID 52064585)
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• Jean-Loup Waldspurger, « Sur les intégrales orbitales tordues pour les groupes linéaires: un lemme fondamental », Canadian Journal of Mathematics, vol. 43, n^o 4,‎ 1991, p. 852-896 (ISSN 0008-414X, DOI 10.4153/CJM-1991-049-5 , MR 1127034)
• Jean-Loup Waldspurger, « Endoscopie et changement de caractéristique », Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu, vol. 5, n^o 3,‎ 2006, p. 423-525 (ISSN 1474-7480, DOI 10.1017/S1474748006000041, MR 2241929, S2CID 122919302)
• Jean-Loup Waldspurger, L'endoscopie tordue n'est pas si tordue, vol. 194, Providence, R.I., American Mathematical Society, coll. « Memoirs of the American Mathematical Society », 2008, 261 p. (ISBN 978-0-8218-4469-4, ISSN 0065-9266, DOI 10.1090/memo/0908, MR 2418405, lire en ligne), chap. 908
• (en) Rainer Weissauer, Endoscopy for GSp(4) and the cohomology of Siegel modular threefolds, vol. 1968, Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Lecture Notes in Mathematics », 2009 (ISBN 978-3-540-89305-9, DOI 10.1007/978-3-540-89306-6, MR 2498783)

• Conférence de Gérard Laumon sur le lemme fondamental pour les groupes unitaires

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